Rosenbrock-Wanner-Verfahren
Die Rosenbrock-Wanner-Verfahren (oder ROW-Methoden, oft auch nur als Rosenbrock-Verfahren bezeichnet) sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Sie sind benannt nach Howard H. Rosenbrock und Gerhard Wanner.
Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge-Kutta-Verfahren für steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitätseigenschaften, ihre praktische Durchführung erfordert aber wegen der Lösung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund betrachtet man linear-implizite Verfahren wie die Rosenbrock-Wanner-Verfahren.
Verfahrens-Struktur
Wie bei Runge-Kutta-Verfahren besitzen die Verfahren <math>s</math> verschiedene Stufen, welche die Lösung <math>y(t)</math> des Systems <math>y'(t)=f\big(t,y(t)\big)</math> an Zwischenstellen <math>t_n+h_nc_i,\,i=1,\ldots,s,</math> eines Zeitschritts der Schrittweite <math>h = h_n</math> approximieren. Im Unterschied zu Runge-Kutta-Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Verfahren besitzt Koeffizientensätze <math>a_{ij},\gamma_{ij},b_i</math>, die Verfahrensgestalt ist
- <math>
{\big(I-h\gamma_{ii}T\big)k_i=f\Bigl(t_n + h c_i, y_n+h\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}k_j\Bigr)+hT\sum_{j=1}^{i-1}\gamma_{ij}k_j+hd_if_t(t_n,y_n),\ i=1,\ldots,s}</math>
- <math>y_{n+1}=y_n+h\sum_{i=1}^s b_ik_i
</math> In jeder Stufe ist also ein lineares <math>d\times d</math>-System zu lösen, wenn <math>f:\,\R\times\R^d\to\R^d</math> ist. Die Matrix <math>T</math> in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts, <math>T=f_y(t_n,y_n)</math>, zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen
- <math>c_i=\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij},\quad d_i=\sum_{j=1}^i\gamma_{ij}.</math>
Wenn alle <math>\gamma_{ii}\equiv\gamma</math> gleich sind, ist beim Gauß-Algorithmus die teure LR-Zerlegung nur einmal zu berechnen. Die Verfahren können ebenfalls durch ein (erweitertes) Butcher-Tableau
- <math>\begin{array}{c|c|c}
c&A&\Gamma\\\hline &b&\end{array}</math>
beschrieben werden, wobei <math>A=(a_{ij})</math> und <math>\Gamma=(\gamma_{ij})</math> untere Dreieckmatrizen sind. Eine ursprüngliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit <math>\gamma_{ij},j<i</math>, geht auf H.H. Rosenbrock (1963) zurück, die vollständige Form wurde 1977 von G. Wanner eingeführt.
Konsistenz und Stabilität
Die ROW-Methoden lassen sich so interpretieren, dass man bei einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren genau einen Schritt des Newton-Verfahrens ausführt. Daher sind für ein Verfahren der Ordnung <math>p</math> mindestens <math>s\ge p-1</math> Stufen erforderlich. Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts <math>\gamma\equiv\gamma_{ii}</math> existieren A-stabile Verfahren.
Beispiel-Verfahren
Das zwei-stufige Verfahren mit dem Tableau
- <math>\begin{array}{c|cc|cc}
0&0&&\gamma&0\\
\frac23&\frac23&0&-\frac43\gamma&\gamma\\\hline
&\frac14&\frac34&\end{array}
</math> und <math>\gamma=(1+1/\sqrt3)/2</math> besitzt Ordnung 3 und ist A-stabil. Es gibt eine effiziente ROW-Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit <math>s=4</math> Stufen und Ordnung <math>p=4</math>, bei dem über ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung möglich ist.
Verallgemeinerungen
Wenn man die Bedingung <math>T=f_y(t_n,y_n)</math> fallen lässt, bekommt man sogenannte W-Methoden, bei denen man eine grobe Approximation <math>T</math> der Jacobimatrix von <math>f</math> verwenden kann, etwa indem man die LR-Zerlegung von <math>I-h\gamma T</math> nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet. Für diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung.
Literatur
- E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag.
- E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer Verlag.
- K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.