Riemann-Zerlegung
Eine Riemann-Zerlegung ist ein Paar einer Familie von Stützstellen <math>\xi _0</math> bis <math>\xi _{n(\mathcal{R})}</math> und Zwischenstellen <math>\alpha _1</math> bis <math>\alpha _{n(\mathcal{R})}</math>,
- <math>\mathcal{R} =((\xi _{j})^{n(\mathcal{R})}_{j=0};(\alpha _{j})^{n(\mathcal{R})}_{j=1})</math>
die ein Intervall <math>[a, b]</math>, folgendermaßen zerlegt:
- <math>a=\xi _0 <\xi_1 < \ldots < \xi _{n(\mathcal{R})} =b</math> und <math>\alpha _j \in [\xi _{j-1} , \xi _j], j=1, \ldots, n(\mathcal{R})</math>
Das heißt die Randpunkte sind gleichzeitig die größte und die kleinste Stützstelle, und die Zwischenstellen liegen beliebig zwischen den Stützstellen.
Die Feinheit einer Riemann-Zerlegung ist dabei definiert als die maximale Differenz zweier aufeinanderfolgender Stützstellen:
- <math>|\mathcal{R}|=\max \{ (\xi _{j} -\xi _{j-1} ): j=1,\ldots, n(\mathcal R) \}</math>
Die Menge aller Riemann-Zerlegungen eines Intervalls wird durch die Relation <math>\preceq</math> zur gerichteten Menge:
- <math>\mathcal{R} _1 \preceq \mathcal{R} _2 :\Leftrightarrow |\mathcal{R} _1| \leq |\mathcal{R} _2|</math>
Über dieser gerichteten Menge lassen sich jetzt Netze definieren, zum Beispiel ist das Riemann-Integral als Grenzwert eines solchen Netzes definiert.