{{#if: behandelt den Begriff aus der Theorie der Booleschen Algebren. Zum ähnlich lautenden Begriff aus der Theorie der Datenbanken siehe Relationale Algebra.
In der Mathematik und abstrakten Algebra ist eine Relationsalgebra (englisch: relation algebra) eine residuierte Boolesche Algebra,<ref>eine Boolesche Algebra, deren Verbandsstruktur ein residuierter Verband ist (englisch: residuated Algebra), siehe: Marcel Erné: Algebraische Verbandstheorie, Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik, Leibniz Universität Hannover</ref> die um eine Involution (als einstellige Operation), genannt Konverse, erweitert wurde. Das für diese Begriffsbildung maßgebliche Beispiel einer Relationsalgebra ist die Algebra <math>2^{A^2} = \mathcal P(A \times A)</math> aller zweistelligen Relationen auf einer Menge <math>A</math> (d. h. auf den Teilmengen des kartesischen Produkts <math>A \times A = A^2</math>), zusammen mit der Verkettung von Relationen und der Umkehrrelation (konversen Relation).
Definition
Die folgenden Axiome sind angelehnt an Givant (2006, Seite 283) und wurden zuerst 1948 von Alfred Tarski aufgestellt.<ref>Alfred Tarski (1948) "Abstract: Representation Problems for Relation Algebras," Bulletin of the AMS 54: 80.</ref>
Eine Relationsalgebra ist ein 9-Tupel <math>(L,\land,\lor,\neg,0,1,\circ,\mathrm I,{}^\smile)</math>, für das gilt:
<math>(L,\land,\lor,\neg,0,1)</math> ist eine Boolesche Algebra mit Konjunktion <math>\land</math>, Disjunktion <math>\lor</math> und Negation <math>\neg</math> sowie Nullelement <math>0</math> und Einselement <math>1</math>:
<math>(L,\circ,\mathrm I)</math> ist ein Monoid mit einem eigenen Einselement <math>\mathrm I</math>,
<math>{}^\smile</math> ist eine Involution, genannt Konverse,
<math>\forall a,b\in{L}: (a \circ b)^\smile = b^\smile \circ a^\smile</math>, d. h. die Konverse ist gegenüber der Verknüpfung <math>\circ</math> treu,
<math>\forall a,b\in{L}: (a \lor b )^\smile = a^\smile \lor b^\smile</math>,
<math>\forall a,b,c\in{L}: (a \lor b)\circ{c} = (a\circ{c}) \lor (b\circ{c})</math> (Distributivität) und
<math>\forall a,b\in{L}: (a^\smile \circ \neg(a\circ{b})) \lor \neg{b} = \neg{b}</math>, was nichts anderes bedeutet als <math>a\circ{b} \le \neg{c} \Leftrightarrow a^\smile \circ c \le \neg{b} \Leftrightarrow c \circ b^\smile \le \neg{a}</math> (Peircesches Gesetz).<ref>Chris Brink et al. Seite 12</ref> Datei:Vetorial space P.GIFVeranschaulichung zum Peirceschen Gesetz, hier mit u, v, w statt a, b, c
Beispiel
Die homogenen zweistelligen Relationen <math>R \subseteq A \times A</math> bilden die Relationsalgebra
<math>\mathfrak{Re}(A) = (2^{A^2},\cap,\cup,{}^{^-},\empty,A^2, \circ, \mathrm I_A, {}^\smile)</math> <ref>Nach Robin Hirsch, Ian Hodkinson: Relation algebras Seite 7, auf: Third Indian Conference on Logic and its Applications (ICLA), 7.–11. Januar 2009, Chennai, India. Das Tupel wurde an die obige Definition angeglichen.</ref>
unter Verwendung der Notationen <math>A^2 = A \times A,\ \;\ 2^{A^2} = \mathcal P(A \times A)</math>.<ref>Von den Verknüpfungen <math>{}^{^-},{}^\smile</math> (einstellig), sowie <math>\cap,\cup,\circ</math> (zweistellig) sind - genau genommen - die Einschränkungen auf <math>A</math> bzw. <math>A^2</math> gemeint.</ref>
Peirce-Algebra
Eine Weiterentwicklung davon ist die (heterogene) Peirce-Algebra, benannt nach Charles Sanders Peirce – eine abstrakte Beschreibung der Relationsalgebra <math>\mathfrak{Re}(A)</math> der homogenen zweistelligen Relationen zusammen mit Vor-/Nachbeschränkungen auf Mengen.
Rudolf Carnap: Introduction to Symbolic Logic and its Applications. Dover Publications, 1958.
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P. R. Halmos: Naive Set Theory. Van Nostrand, 1960.
Leon Henkin, Alfred Tarski, J. D. Monk: Cylindric Algebras. Part 1, 1971, und Part 2, 1985, North Holland.
R. Hirsch, I. Hodkinson: Relation Algebra by Games. (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. vol. 147). Elsevier Science, 2002, ISBN 0-444-50932-1.
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Roger D Maddux: Relation Algebras. (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 150). Elsevier Science, 2006, ISBN 1-280-64163-0.
Patrick Suppes: Axiomatic Set Theory. Van Nostrand. Dover 1972, Chapter 3.
Gunther Schmidt: Relational Mathematics. Cambridge University Press, 2010.
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Steven Givant: A Formalization of Set Theory without Variables. American Mathematical Society, Providence RI 1987, ISBN 0-8218-1041-3.
