Reidsche Ungleichung

Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.

Formulierung

Seien <math>H</math> ein Hilbertraum und <math>A,B</math> stetige lineare Operatoren auf <math>H</math>, so dass gilt:

<math>A</math> ist ein positiver Operator, das heißt <math>\langle Ax,x\rangle \ge 0</math> für alle <math>x\in H</math>
<math>AB</math> ist selbstadjungiert, das heißt <math>\langle ABx,y\rangle = \langle x,ABy\rangle</math> für alle <math>x,y\in H</math>.

Dann gilt <math>|\langle ABx,x\rangle| \le \|B\|\langle Ax,x\rangle</math> für alle <math>x\in H</math>.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform <math>(x,y)\to \langle Ax,y\rangle</math> auf <math>H</math>.

Anwendung

Sind die positiven Operatoren <math>A</math> und <math>B</math> vertauschbar, das heißt <math>AB=BA</math>, so ist auch <math>AB</math> positiv.

Zum Beweis sei <math>I</math> der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist <math>\|B\| \le 1</math>. Dann ist auch <math>0 \le I-B \le 1</math> und daher <math>\|I-B\|\le 1</math>. Da <math>A</math> auch mit <math>I-B</math> vertauscht, ist <math>A(I-B)</math> selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert <math>\langle A(I-B)x,x\rangle \le \|I-B\| \langle Ax,x\rangle \le \langle Ax,x\rangle</math>. Also ist <math>A-AB = A(I-B)\le A</math>, das heißt <math>AB \ge 0</math>.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von <math>A</math> und <math>B</math> erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum <math>X</math> ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen <math>X\mapsto \R_0^+</math> wieder eine solche Funktion ist.

Quellen

W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41–56, (1951)
Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975