Reeb-Graph

Der Reeb-Graph ist ein topologischer Graph benannt nach dem französischen Mathematiker Georges Reeb (1920–1993). Er hat seinen Ursprung in der Morse-Theorie.

Definition

Sei <math>f \colon M \rightarrow \mathbb{R}</math> eine stetige skalare Funktion über der kompakten Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Der Reeb-Graph von <math>M</math> bezüglich <math>f</math> ist der Quotientenraum von <math>M</math>, der von der Äquivalenzrelation <math>x \sim y</math> induziert wird. Es gilt <math>x \sim y</math> genau dann, wenn

• <math>f(x)=f(y)</math> und
• <math>x</math> und <math>y</math> in derselben Zusammenhangskomponente von <math>f^{-1}(f(x))</math> liegen.

Das heißt, Knoten entstehen an Punkten, an denen sich die Topologie von <math>M</math> bezüglich <math>f</math> ändert. Diese werden auch als kritische Punkte bezeichnet.

Literatur

• G. Reeb: Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris 222, 847–849 (1946)