Rang einer abelschen Gruppe

Vorlage:Hinweisbaustein Der Rang einer abelschen Gruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er ist ein Maß für die Größe einer abelschen Gruppe.

Definition

Für eine abelsche Gruppe <math>G</math> stimmen die folgenden Zahlen überein:

die Kardinalität einer maximalen <math>\mathbb Z</math>-linear unabhängigen Teilmenge<ref>Serge Lang: Algebra (= Graduate texts in mathematics. Nr. 211). Rev. 3. ed. (corr. print. 2005), [Nachdr.]. Springer, New York 2005, ISBN 978-0-387-95385-4, S. 42. </ref>
die Dimension des <math>\mathbb Q</math>-Vektorraums <math>G\otimes\mathbb Q</math> (siehe Tensorprodukt).

Diese Zahl heißt Rang von <math>G</math>.

Der Rang von <math>\mathbb Z^n</math> für eine natürliche Zahl <math>n</math> ist gleich <math>n</math>; allgemeiner ist der Rang der freien abelschen Gruppe <math>\mathbb Z^{(I)}</math> auf einer Menge <math>I</math> gleich der Kardinalität von <math>I</math>.
Die Gruppe <math>\mathbb Q^n</math> hat Rang n.
Eine abelsche Gruppe ist genau dann eine Torsionsgruppe, wenn ihr Rang 0 ist.
Der Rang ist additiv auf kurzen exakten Sequenzen: Ist

<math>0\longrightarrow G'\longrightarrow G\longrightarrow G\longrightarrow0</math>

eine exakte Sequenz abelscher Gruppen, so ist der Rang von <math>G</math> gleich der Summe der Ränge von <math>G'</math> und <math>G</math>.