Quaternionisch-hyperbolischer Raum

Der quaternionisch-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein mit Hilfe von Quaternionen definierter negativ gekrümmter symmetrischer Raum.

Definition

Seien <math>\mathbb H</math> die Quaternionen und sei <math>\mathbb H^{n,1}</math> der <math>\mathbb H</math>-Vektorraum <math>\mathbb H^{n+1}</math> mit der Quaternionisch-hermiteschen Form

<math>\langle U,V\rangle=-u_{n+1}\overline{v}_{n+1}+\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j</math>

für <math>U=(u_1,\ldots,u_{n+1}), V=(v_1,\ldots,v_{n+1})</math>. (Hierbei ist die quaternionische Konjugation definiert durch <math>\overline{a+bi+cj+dk}:=a-bi-cj-dk</math> für reelle Zahlen a,b,c,d.)

Der n-dimensionale quaternionisch-hyperbolische Raum <math>\mathbb HH^n</math> ist

<math>\mathbb HH^n=\left\{X\in\mathbb H^{n,1}: \langle X,X\rangle=-1\right\}</math>

mit der von der Hermiteschen Form <math>\langle .,.\rangle</math> induzierten Riemannschen Metrik.

Siegel-Modell

Eine äquivalente Definition erhält man mit dem Siegel-Modell.<ref>Inkang Kim, John R. Parker: Geometry of quaternionic hyperbolic manifolds. In: Cambridge Philosophical Society: Mathematical Proceedings, 135 (2003), no. 2, 291–320. {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0305-0041|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1

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}} pdf</ref> Hier benutzt man die quaternionisch-hermitesche Form <math>\langle U,V\rangle=\overline{u}_1v_{n+1}+\overline{u}_2v_2+\ldots+\overline{u}_nv_n+\overline{u}_{n+1}v_1</math>, betrachtet das Bild von <math>V_-:=\left\{U\in\mathbb H^{n+1}:\langle U,U\rangle <0\right\}</math> unter der Projektion auf den projektiven Raum <math>\pi:\mathbb H^{n+1}\rightarrow P\mathbb H^n</math> und definiert <math>\mathbb HH^n:=\pi(V_-)\subset P\mathbb H^n</math>.

Geometrie

<math>\mathbb HH^n</math> ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.

Für die Schnittkrümmung von Ebenen im <math>\mathbb HH^n</math> gilt die Ungleichung <math>-4\le K\le -1</math>. Ebenen in <math>\mathbb RH^n\subset \mathbb HH^n</math> haben Schnittkrümmung <math>-1</math>, während die Ebene <math>\mathbb CH^1\subset\mathbb HH^1\subset\mathbb HH^n</math> die Schnittkrümmung <math>-4</math> hat.

Isometrien und Quasi-Isometrien

Die Isometriegruppe des <math>\mathbb HH^n</math> ist <math>PSp(n,1)=Sp(n,1)/\left\{\pm 1\right\}</math>, dabei ist <math>Sp(n,1)</math> die Lie-Gruppe

<math>Sp(n,1)=\left\{A\in GL(n+1,\mathbb H): \langle AU,AV\rangle=\langle U,V\rangle \forall U,V\in\mathbb H^{n,1}\right\}=GL(n+1,\mathbb H)\cap U(2n,2)</math>.

Alle Quasi-Isometrien des <math>\mathbb HH^n</math> haben endlichen Abstand von einer Isometrie.<ref>Pierre Pansu: Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un. In: Annals of Mathematics, (2) 129 (1989), no. 1, 1–60. {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0003486X|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1

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Quaternionisch-hyperbolische Mannigfaltigkeiten

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt quaternionisch-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum <math>\mathbb HH^n</math> ist.

Weblinks

Jean-François Quint: An overview of Patterson-Sullivan theory pdf
Gongopadhyay, Parsad: Classification of quaternionic hyperbolic isometries pdf

Quellen