Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers <math>F</math> ist definiert als das kleinste <math>p(F) \in \mathbb{N}</math>, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in <math>F</math> schon als Summe von <math>p(F)</math> Quadraten schreiben lässt.<ref name="Brocker">Bröcker L., Über die Pythagoraszahl eines Körpers, Archiv der Mathematik, Birkhäuser Basel, Volume 31, Number 1, Dezember 1978, S. 133–136</ref>

Definition

Für einen Körper <math>F</math> sei

<math>\sum F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\in\mathbb{N}, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}</math>

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

<math>\sum^k F^2 := \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k , a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}</math>

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in <math>F</math>, die höchstens Länge <math>k</math> haben. Offensichtlich gilt <math>\textstyle \sum^k F^2 \subseteq \sum F^2</math> für alle <math>k\in\mathbb N</math>. Unklar ist dagegen, ob immer ein <math>k\in\mathbb N</math> existiert, so dass <math>\textstyle \sum^k F^2 = \sum F^2</math>. Als Pythagoraszahl von <math>F</math> bezeichnen wir die folgende Größe:

<math>p(F) := \min\left\{ k\in \mathbb N \cup \{\infty\} \;\Big|\; \sum^k F^2 = \sum F^2 \right\} </math>

wobei <math>p(F) = \infty</math> genau dann, wenn <math>\textstyle \sum^k F^2 \varsubsetneq \sum F^2</math> für alle <math>k\in\mathbb N</math> gilt. Es ist stets <math>p(F) \geq 1</math>.

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für <math>a_1, \ldots, a_n \in \mathbb R</math> ein <math>b\in\mathbb R</math>, so dass <math>a_1^2 + \ldots + a_n^2 = b^2</math>. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen <math>p(\mathbb R) = 1</math>. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in <math>\mathbb R</math> die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen <math>p(\mathbb C) = 1</math>.
Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen <math>p(\mathbb Q) = 4</math>, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls <math>F</math> nicht-reeller Körper ist, (das heißt <math>-1 \in \sum F^2</math>,) lässt sich die Pythagoraszahl von <math>F</math> abschätzen durch die Stufe <math>s(F)</math> von <math>F</math>:

Beweis: Siehe Datei:Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

Falls <math>F</math> ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade<ref> A.R. Rajwade, Squares, Cambridge University Press, 1993</ref>, nach dem für einen beliebigen Körper <math>F</math> mit <math>\text{char}(F) > 0</math> gilt, dass <math>s(F) \leq 2</math> (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass <math>p(F) \leq 3</math>.

Ganz exakt kann man im Fall <math>F = \mathbb F_q</math> werden, wo <math>q</math> eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz <math>p(\mathbb F_q) = 2</math> für alle <math>q = p^n</math> wo <math>p >2</math> prim und <math>n > 0</math> ist.

Beweis: Siehe Datei:Wikibooks-logo.svg Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei <math>F/\mathbb Q</math> eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter <math>d = \text{trdeg}(F)</math> der Transzendenzgrad von <math>F</math> über <math>\mathbb Q</math>.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass <math>p(F) \leq 2^{d+2}</math> für alle <math>d</math> gilt.

Wegen <math>p(\mathbb Q) = 4</math> ist diese Abschätzung scharf für <math>d=0</math>.

Für <math>d=1</math> wurde bisher <math>p(F) \leq 6</math> gezeigt<ref>Florian Pop, bislang unveröffentlichter Artikel</ref>. Vermutlich gilt aber sogar <math>p(F) \leq 5</math>, was dann wegen <math>p(\mathbb Q(t)) = 5</math> eine scharfe Abschätzung wäre.<ref>Y. Pourchet, Sur la representation en somme de carres des polynomes a une indeterminee sur un corps de nombres algebraiques, Acta Arith. 19, 1971</ref>

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von <math>p(F) \leq 2^{d+2}</math> findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch

Pythagoreischer Körper

Weblinks

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Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern

Einzelnachweise