Polytrope Zustandsänderung

In der Thermodynamik wird eine Zustandsänderung eines Systems, in der für Druck <math>p</math> und spezifisches Volumen <math>v</math> die Gleichung <math>pv^{n}=\mathrm{const}</math> gilt, als polytrop bezeichnet. Der Exponent <math>n</math> wird Polytropenexponent genannt. Bei technischen Vorgängen kann der Polytropenexponent als konstant angesehen werden.<ref name='bosniakovic'>Fran Bosniakovic, "Technische Thermodynamik", 7. Auflage, Steinkopf-Verlag Darmstadt; Kapitel 4.5 "Polytrope Zustandsänderung"</ref> Eine Polytrope nimmt im p-v-Diagramm die Form einer Potenzfunktion mit negativer Steigung an.

Sonderfälle der polytropen Zustandsänderung sind:

Datei:Polytrope Zustandsänderung.jpg

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung

<math>n=0</math> : isobar
<math>n=1</math> : isotherm
<math>n=\infty</math> : isochor
<math> n= \kappa = \frac{c_\mathrm{p}}{c_\mathrm{v}}</math> : isentrop oder auch adiabat-reversibel

Die einem Gas während dieser Zustandsänderung zugeführte Wärme ist gegeben durch:<ref>Peter Stephan u. a.: Thermodynamik. Grundlagen und technische Anwendungen, Bd. 1: Einstoffsysteme. 18. Aufl. Springer, Berlin 2013, S. 115, ISBN 3-642-30097-9.</ref>

<math>Q_{12}=m \ c_\mathrm v \frac{n - \kappa}{n - 1} \ (T_2 - T_1)</math>

Dabei bezeichnet <math>m</math> die Masse, <math>T_1</math> und <math>T_2</math> Anfangs- und Endtemperatur des Prozesses. Die Polytropie zeichnet sich durch eine feste Wärmekapazität aus, welche sich aus <math>c_\mathrm p</math>, <math>c_\mathrm v</math> und <math>n</math> ergibt.

Man spricht auch von polytroper Zustandsgleichung:

mit dem Druck <math>p</math>, der Dichte <math>\rho</math>, der Polytropenkonstante <math>K</math> und dem Polytropenexponenten <math>n</math>. (Gelegentlich wird auch der Polytropenindex <math>m</math> durch <math> n = 1 + \frac{1}{m}</math> eingeführt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>). Sie findet zum Beispiel Anwendung in der Astrophysik (Lane-Emden-Gleichung).

Ideale Gase

Für ideale Gase gelten außerdem folgende Beziehungen:

<math> \frac {T_2} {T_1} = \left( \frac {p_2} {p_1} \right) ^ \frac {n-1} {n} = \left( \frac {V_1} {V_2} \right) ^ {n-1} </math> bzw.

<math> \frac {p_2} {p_1} = \left( \frac {T_2} {T_1} \right) ^ \frac{n}{n - 1} = \left( \frac {V_1} {V_2} \right) ^ n </math>

mit

<math>T</math>: absolute Temperatur

<math>p</math>: Druck

<math>V</math>: Volumen

<math>n</math>: Polytropenexponent.

Bei der isentropen Zustandsänderung eines idealen Gases gilt <math>n=c_\mathrm{p}/c_\mathrm{v}</math> mit der isobaren Wärmekapazität <math>c_\mathrm{p}</math> und der isochoren Wärmekapazität <math>c_\mathrm{v}</math>. Bei zweiatomigen Gasen kann <math>n=1{,}403</math> (beispielsweise Luft als Gasgemisch) und bei einatomigen Gasen (Edelgasen) <math> n=1{,}66</math> angesetzt werden.

Literatur

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Dieter Winklmair - Energie- und Wärmetechnik (Skript, PDF) (1,08 MB)

Einzelnachweise

Siehe auch

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Thermische Zustandsgleichung idealer Gase

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