Petersson-Skalarprodukt
In der Mathematik versteht man unter dem Petersson-Skalarprodukt ein bestimmtes Skalarprodukt auf dem Vektorraum der ganzen Modulformen. Eingeführt wurde dieses Skalarprodukt von Hans Petersson.
Definition
Es sei <math>\mathbb{M}_k</math> der Vektorraum der ganzen Modulformen zum Gewicht <math>k</math> und <math>\mathbb{S}_k</math> der Vektorraum der Spitzenformen.
Die Abbildung <math>\langle \cdot , \cdot \rangle : \mathbb{S}_k \times \mathbb{S}_k \rightarrow \mathbb{C}</math>,
- <math>\langle f , g \rangle := \int_\mathrm{F} f(\tau) \overline{g(\tau)} (\operatorname{Im}\tau)^k {\rm d}\nu (\tau)</math>
heißt Petersson-Skalarprodukt. Dabei ist
- <math>\mathrm{F} = \{ \tau \in \mathrm{H} \mid \left| \operatorname{Re}\tau \right| \leq \frac{1}{2},
\left| \tau \right| \geq 1 \}</math>
der Fundamentalbereich der Modulgruppe <math>\Gamma</math>, und für <math>\tau = x + iy</math> ist
- <math>{\rm d}\nu(\tau) = y^{-2}{\rm d}x{\rm d}y</math>
das hyperbolische Volumenelement. Man beachte, dass man formal auch für eine der beiden Komponente des Skalarprodukts eine ganze Modulformen aus <math>\mathbb{M}_k</math> in die obige Formel einsetzen darf, weil das Integral auch dann noch konvergiert. Jedoch müssen in der Definition eines Skalarprodukts beide Komponenten aus demselben Vektorraum stammen, weshalb man das Petersson-Skalarprodukt üblicherweise in der obigen Form definiert.
Eigenschaften
Das Integral ist absolut konvergent, und das Petersson-Skalarprodukt ist eine positiv definite Hermitesche Form.
Für die Hecke-Operatoren <math>T_n</math> gilt
- <math>\langle T_n f , g \rangle = \langle f , T_n g \rangle</math>.
Damit lässt sich zeigen, dass der Vektorraum der Spitzenformen eine Orthonormalbasis aus simultanen Eigenformen zu den Hecke-Operatoren besitzt und dass die Fourier-Koeffizienten dieser Formen alle reell sind.
Literatur
- T.M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1990, ISBN 3-540-97127-0.
- M. Koecher, A. Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
- S. Lang: Introduction to Modular Forms. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 2001, ISBN 3-540-07833-9.