Periodogramm
Das Periodogramm ist ein Schätzer für die spektrale Leistungsdichte eines Signals. Gesucht ist also eine Funktion <math>P \left( \omega \right)</math>, welche die Verteilung der Leistung (oder Energie) des Signals auf die Kreisfrequenz <math>\omega</math> angibt. Der Ausdruck wurde von Arthur Schuster 1898 geprägt.<ref name="Schuster">Arthur Schuster: On the investigation of hidden periodicities with application to a supposed 26 day period of meteorological phenomena, Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity, 3, S. 13–41, 1898</ref> Die Methode wird eingesetzt in der Signalverarbeitung, Elektrotechnik, Physik und Ökonometrie. Ein wichtiges Beispiel sind Spektrum-Analysatoren.
Im mathematischen Sinn ist das Periodogramm ein nicht konsistenter Schätzer, siehe auch Spektraldichteschätzung.
Kontext und Konventionen
In der Regel sind nur Abtastwerte des Signals <math>f\left(t\right)</math> zu diskreten Zeitpunkten <math>t_{n} = nT</math> mit konstanter Abtastdauer <math>T</math> gegeben, und man beschränkt sich zur Abschätzung auf <math>N</math> Abtastwerte, z. B. <math>f\left(t_n\right)</math> mit <math>0 \leq n < N</math>, d. h. auf ein Zeitintervall der Dauer <math>N T</math>.
Ein wesentlicher Schritt des Verfahrens ist eine diskrete Fourier-Transformation. Die Einschränkung der Fourier-Transformation auf ein Zeitintervall der Dauer <math>NT</math> lässt sich erreichen durch Multiplikation des Signals mit einer Fensterfunktion <math>w\left(t\right)</math>. Im einfachsten Fall ist <math>w\left(t\right)</math> eine Rechteckfunktion der Breite <math>N T</math>.
Um Artefakte im Spektrum (aufgrund der Unstetigkeiten des Rechteckfensters) zu verringern, werden jedoch in der Regel Fenster mit langsameren Änderungen und eigenen Bezeichnungen verwendet, z. B. das Parzen-Fenster oder das „Welch-Fenster“. Man spricht dann von einem modifizierten Periodogramm.<ref name="NumRepC">William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery, Michael Metcalf: Numerical Recipes in C, Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43108-5</ref>
Für die diskrete Fouriertransformierte des Signals <math>f \left( t \right) w \left( t \right)</math> wird die Schreibweise <math>F^{ \left( w \right) } \left( \omega_{m} \right) = \sum \limits _{n} f \left( t_{n} \right) w \left( t_{n} \right) e^{i \omega_{m} t_{n}}</math> verwendet. Hierbei sind nur Kreisfrequenzen <math>\omega_{m} = 2 \pi m/(NT)</math> mit <math>0 \leq m < N</math> zulässig.
Definition
Das Periodogramm ist definiert gemäß
- <math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{\sum_{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)^{2}}.</math>
In Übereinstimmung mit dem Abtasttheorem ist das Periodogramm <math>2\pi/T</math>-periodisch. Man beschränkt sich daher auf ein Intervall (Brillouin-Zone) <math>0 \leq \omega \leq 2\pi/T</math> oder <math>-\pi/T \leq \omega \leq \pi/T</math>.
Den Normierungsfaktor betreffend gibt es verschiedene Konventionen. Eine wichtige Kenngröße hierbei ist das mittlere Amplitudenquadrat <math>\left\langle A^{2}\right\rangle =\frac{1}{N}\sum_{n}\left|f\left(t_{n}\right)\right|^{2}</math> (die mittlere Leistung) des Signals. Die Normierung ist so gewählt, dass der Mittelwert von <math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)</math> bestmöglich mit <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math> übereinstimmt.
Falls die Amplitude des Signals digitalisiert ist und Maximalwert <math>A</math> hat, ist das Periodogramm auch relativ zum Maximum normierbar (Fullscale). Das Maximum wird für monochromatische Signale <math>f=Ae^{-i\omega t}</math> erreicht, das Full-Scale Periodogramm ist
- <math>P_{FS}^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{\left(\sum_{n=0}^{N-1}w\left(t_{n}\right)\right)^{2}}.</math>
Beispiele
Weißes Rauschen
Es sei <math>f\left(t\right)</math> ein weißes Rauschen mit Varianz <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>, <math>\left\langle f\left(t_{m}\right)f^{*}\left(t_{n}\right)\right\rangle =\delta_{m,n}\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Das Ensemble-Mittel des Betragsquadrats der Fourier-Transformierten ist dann
- <math>\left\langle \left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}\right\rangle =\left\langle A^{2}\right\rangle \sum\limits _{m,n}e^{i\omega\left(t_{m}-t_{n}\right)}\delta_{m,n}w\left(t_{m}\right)w\left(t_{n}\right)=\left\langle A^{2}\right\rangle \sum_{n}w\left(t_{n}\right)^{2}.</math>
Das Periodogramm hat den Mittelwert <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>, und zwar unabhängig von der Fensterlänge. Alle Frequenzen geben denselben Energiebeitrag.
Konstantes Signal
Für den Frequenz-Mittelwert von <math>\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}</math> lassen sich allgemeine Aussagen machen. Ausgangspunkt ist
- <math>\sum_{\omega}\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}=\sum_{\omega}\sum\limits _{t,t'}e^{i\omega\left(t-t'\right)}f\left(t\right)w\left(t\right)f^{*}\left(t'\right)w\left(t'\right)=N\sum_{t}\left|f\left(t\right)\right|^{2}w^{2}\left(t\right).</math>
Für konstantes Signal <math>f\left(t\right)=A</math> wird
- <math>\sum_{\omega}\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}=N\left\langle A^{2}\right\rangle \sum_{t}w^{2}\left(t\right).</math>
Der Mittelwert des Periodogramms ist (unabhängig von <math>N</math>) ebenfalls <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Das Periodogramm liefert bei konstantem Signal einen Peak bei Frequenz <math>0</math>. Mit wachsendem <math>N</math> wird dieser Peak höher und schmäler.
Rechteck-Fenster
Im Fall eines Rechteck-Fensters <math>w=1</math> gilt die Parseval-Gleichung <math>\sum_{\omega}\left|F\left(\omega\right)\right|^{2}=N^{2}\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Durch Division durch <math>N^{2}</math> folgt der Mittelwert des Periodogramms <math>\sum_{\omega}P\left(\omega\right)/N=\left\langle A^{2}\right\rangle</math>. Dieser Wert ist von <math>N</math> unabhängig, sofern dies für das mittlere Amplitudenquadrat <math>\left\langle A^{2}\right\rangle</math> gilt.
Einschränkungen und Verbesserungen
Die Zahl der Werte im Periodogramm wächst mit der Fensterlänge <math>N</math>, die Werte werden dabei jedoch nicht genauer. Im Fall eines weißen Rauschens mit Amplitude <math>A</math> bleibt die Varianz der Periodogramm-Werte bei wachsender Fensterlänge von der Größenordnung <math>A^4</math>.<ref name="Hayes">Monson H. Hayes: Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & sons, inc, 1996, ISBN 978-0-471-59431-4</ref> Abhilfe schafft eine Mittelung benachbarter Werte oder eine Mittelung über mehrere Periodogramme.<ref name=NumRepC/>
Kontinuierliches Signal
Für ein auf dem Zeit-Kontinuum definiertes Signal <math>f(t)</math> ist die Fourier-Transformierte des Produktes von Signal und Fensterfunktion
- <math>F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f\left(t\right)w\left(t\right)e^{i\omega t}dt.</math>
Das Periodogramm ist
- <math>P^{\left(w\right)}\left(\omega\right)=\frac{\left|F^{\left(w\right)}\left(\omega\right)\right|^{2}}{T\int^{\infty}_{-\infty} w^{2}\left(t\right) dt}.</math>
Wie beim abgetasteten Signal bleibt die Standardabweichung der Periodogramm-Werte bei wachsender Zeitreihenlänge <math>T</math> im ungünstigsten Fall von derselben Größenordnung wie die Werte selber.
Einzelnachweise
<references />