Peetre-Ungleichung

Die Peetre-Ungleichung, benannt nach Jaak Peetre, ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, genauer aus der Theorie der Hilberträume.

Es sei <math>H</math> ein Hilbertraum. Dann gilt für alle <math>x,y\in H</math> und für alle reellen Zahlen <math>t</math> die Ungleichung<ref>J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis, Oldenbourg Verlag (2002), ISBN 3-486-24914-2, Satz 1.1-10</ref>

<math>\frac{(1+\|x\|^2)^t}{(1+\|y\|^2)^t} \le 2^{|t|}\cdot (1+\|x-y\|^2)^{|t|}\,.</math>

Diese Ungleichung wurde 1959 von J. Peetre bewiesen<ref>J. Peetre: Une charactérisation abstraite des opérateurs differentiels, Math Scandinavica, Band 7 (1959), Seiten 211–118

(J. Peetre: Rectification à l'article "Une charactérisation abstraite des opérateurs differentiels", Math Scandinavica, Band 8 (1960), Seiten 116–120)</ref> und wird für numerische und theoretische Abschätzungen eingesetzt. Stellt man obige Ungleichung zu

<math>(1+\|x\|^2)^t \le 2^{|t|}\cdot (1+\|x-y\|^2)^{|t|} \cdot (1+\|y\|^2)^t </math>

um, so erkennt man, dass diese Abschätzung in Sobolev-Räumen reellwertiger Ordnung hilfreich sein kann, denn dort treten unter einem Integral gerade Funktionen der Form <math>(1+\|x\|^2)^t</math> auf. Eine Anwendung der Peetre-Ungleichung in dieser Richtung findet sich im unten angegebenen Lehrbuch<ref>Herbert Schröder: Funktionalanalysis, Harri Deutsch Verlag (2000), ISBN 3-8171-1623-3, Satz 6.1.7</ref> bei der Untersuchung von Multiplikationsoperatoren auf Sobolev-Räumen.

Einzelnachweise

<references />