Parametertransformation

Als Parametertransformation wird in der Analysis eine stetige und streng monotone Abbildung bezeichnet, die den Parameter eines Weges ändert.

Formale Definition

Sind <math>\gamma_1\colon[a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n</math> und <math>\gamma_2\colon[\alpha,\beta] \rightarrow \mathbb{R}^n</math> zwei Wege und ist <math>f\colon [a,b] \rightarrow [\alpha, \beta]</math> eine stetige und streng monotone Funktion mit

<math>\gamma_1(t) = \gamma_2(f(t))</math> für alle <math>t \in [a, b]</math>, also <math>\gamma_1 = \gamma_2 \circ f</math>,

so nennt man <math>f</math> eine Parametertransformation.<ref name="forster-analysis-2"></ref> Man nennt <math>\gamma_1</math> dann auch eine Umparametrisierung von <math>\gamma_2</math> mittels <math>f</math>.<ref name="TutoriumA139"></ref>

Ist <math>f</math> streng monoton wachsend, so wird die Parametertransformation orientierungstreu genannt. Falls die Parametertransformation <math>f</math> streng monoton fallend ist, wird sie orientierungsumkehrend genannt.

Wenn <math>f</math> und die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> stetig differenzierbar sind, dann nennt man <math>f</math> eine <math>C^1</math>-Parametertransformation.

Eigenschaften

Durch die Parametertransformation ändert sich der Weg, nicht jedoch die zugehörige Kurve.<ref></ref>
Der Weg <math>\gamma_1</math> ist genau dann rektifizierbar, wenn <math>\gamma_2</math> rektifizierbar ist. In diesem Fall sind die Weglängen von <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> gleich.<ref></ref>

Literatur

Einzelnachweise