Parallele Koordinaten

Paralleler Koordinatenplot von Flohkäfer-Daten mit GGobi.

Parallele Koordinaten (auch ||-Koordinaten; {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Vorlage:lang:103: attempt to index field 'wikibase' (a nil value), PCP) sind eine Methode zur Visualisierung von hochdimensionalen Strukturen und multivariater Daten. In der rechten Grafik zeigen die senkrechten Linien die Achsen des Koordinatensystems. Anders als im Streudiagramm, in dem zwei Koordinatenachsen rechtwinklig zueinander angeordnet sind, verlaufen sie hier parallel und in gleichem Abstand. Jede Linie von links nach rechts entspricht dabei einem Datenpunkt und wird durch einen Polygonzug mit Ecken auf den parallelen Achsen dargestellt. Die Position der Ecke auf der i-ten Achse entspricht der i-ten Koordinate des Punktes.

Geschichte

Oft wird die Erfindung der Parallelen Koordinaten Maurice d’Ocagne im Jahre 1885 zugeschrieben,<ref name="pc-first">Maurice d’Ocagne: Coordonnées Parallèles et Axiales: Méthode de transformation géométrique et procédé nouveau de calcul graphique déduits de la considération des coordonnées parallèlles. Gauthier-Villars, Paris 1885. </ref> jedoch hat diese Publikation, außer dass die Wörter im Titel vorkommen, mit der gleichnamigen Visualisierungstechnik nichts zu tun, sondern beschreibt lediglich eine Transformationsfunktion für Koordinatensysteme. Außerdem gibt es zweifelsfrei schon vor 1885 Darstellungen von Parallelen Koordinaten, beispielsweise von H. Gannett und F.W. Hewes im Jahre 1883 (siehe Link in der Referenz)<ref name="hg">Henry Gannett: General Summary Showing the Rank of States by Ratios 1880. Abgerufen am 5. Februar 2015. </ref>. Knapp 80 Jahre später wurde im Jahre 1959 die ursprüngliche Idee von Alfred Inselberg erneut verwendet.<ref name="pc">Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name Vorlage:Cite book/Name: The Plane with Parallel Coordinates. In: Visual Computer. 1. Jahrgang, Nr. 4, Vorlage:Cite book/Date, S. 69–91, doi:10.1007/BF01898350 (Vorlage:Cite book/URL [abgerufen am -05-]). Vorlage:Cite book/URL Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung Vorlage:Cite book/Meldung2</ref> Ab 1977 wurden sie systematisch von ihm weiterentwickelt und popularisiert. Am häufigsten angewendet werden sie bei Algorithmen zur Vermeidung von Zusammenstößen im Flugverkehr (1987), beim Data-Mining, bei Bildanalyseverfahren, in der Optimierung, der Prozesskontrolle, sowie der Einbruchserkennung bei Computern. Ausschlaggebend für die erfolgreiche Anwendung paralleler Koordinaten war Wegmans Artikel Hyperdimensional Data Analysis Using Parallel Coordinates aus dem Jahr 1990.<ref>Edward J. Wegman: Hyperdimensional Data Analysis Using Parallel Coordinates. In: Journal of the American Statistical Association. Band 85, Nr. 411, September 1990, S. 664–675. </ref>

Vor- und Nachteile

Die parallelen Koordinaten haben Vor- und Nachteile:

Eine Erhöhung der Dimension bedeutet lediglich das Hinzufügen von weiteren (senkrechten) Achsen.
Da parallele Koordinaten einen höherdimensionalen Raum auf einen zweidimensionalen Raum abbilden, tritt ein Informationsverlust ein. Dieser kann mit Hilfe der Parseval-Identität gemessen werden.
Mit Übung sind bestimmte zweidimensionale und auch höherdimensionale Strukturen in parallelen Koordinaten leicht zu erkennen. Die Grafik unten zeigt verschiedene zweidimensionale Strukturen (perfekt positiv und negativ korrelierte Datenpunkte, Cluster, Kreis und normalverteilte Daten) einmal im Streudiagramm (oben) und in parallelen Koordinaten. Es sind Muster in parallelen Koordinaten bekannt für (Hyper-)Ebenen, Kurven, mehrere glatte (Hyper-)Flächen, Ähnlichkeiten, Konvexität und auch nicht orientierbare Flächen.<ref name="pc2">A. Inselberg: Parallel Coordinates: Visual Multidimensional Geometry and its Applications. Springer, 2009. </ref> Die Punkt-Linie-Dualität ist ein Hinweis darauf, dass die mathematischen Grundlagen aus der projektiven Geometrie stammen.

Verschiedene zweidimensionale Strukturen im Streudiagramm (oben) und in Parallelen Koordinaten (unten).

Zur Visualisierung von hochdimensionalen Daten in der Statistik müssen drei wichtige Aspekte beachtet werden:

die Anordnung der Achsen: Die Anordnung der Achsen ist entscheidend für die Suche nach Strukturen in den Daten. In einer typischen Datenanalyse werden meist viele Anordnungen ausprobiert. Es wurden Anordnungsheuristiken entwickelt, die Einblicke in interessante Strukturen erlauben.<ref>Interactive Hierarchical Dimension Ordering Spacing and Filtering for Exploration of High Dimensional Datasets. (S. 3–4; PDF; 6,0 MB)</ref>
die Rotation der Achsen (Daten): Da die i-te Koordinate durch die Ecke auf der i-ten Achse bestimmt wird, kann eine Rotation der Achsen (= Rotation der Daten) ein anderes Bild ergeben. Die beiden linken Grafiken können als Rotation der Achsen (oder Daten) um 90 Grad aufgefasst werden. Trotz gleicher Struktur ergeben sich unterschiedliche Strukturen in den parallelen Koordinaten.
die Skalierung der Achsen: Die parallelen Koordinaten sind im Wesentlichen eine Aneinanderreihung von Linien zwischen Paaren von Koordinatenachsen.<ref name="Gpc2" /> Daher sollten die Variablen auf einen ähnlichen Maßstab skaliert sein. Verschiedene Skalierungen können ebenfalls interessante Einsichten in die Daten geben.

Literatur

Alfred Inselberg: Parallel Coordinates: Visual Multidimensional Geometry and Its Applications. 1. Auflage. Springer, New York 2009, ISBN 978-0-387-21507-5.
Martin Graham, Jessie Kennedy: Using Curves to Enhance Parallel Coordinate Visualisations. Napier University, Edinburgh, UK (Online [PDF; abgerufen am 29. September 2011]).
Rida E. Moustafa, Edward J. Wegman: On Some Generalization of Parallel Coordinate Plots. George Mason University 2002 (Technical report).

Weblinks

Alfred Inselberg's Homepage mit einem Tutorial, ausgewählten Publikationen und Anwendungen
Paralleler Koordinatenplot in GGobi
Paralleler Koordinatenplot in R
picviz — the graphviz of parallel coordinates (lizenziert unter der GNU GPL v3, implementiert in C)
XDAT – eine freie JAVA-basierte Software für parallele Koordinaten

Einzelnachweise