Orthant

Ein Orthant bezeichnet in der Geometrie die Teilmenge des <math>d</math>-dimensionalen Raumes <math>\R^d</math>, die auf jeweils genau einer Seite der durch den Ursprung verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist damit eine Menge der Form

<math>\{x= (x_1,\ldots, x_d)\in \R^d \mid x_i\cdot d_i \ge 0\}</math>,

wobei die <math>d_i \in \{-1,1\}</math> für <math>i\in \{1,\ldots,d\}</math> fest gewählt sind.<ref>Oliver Aberth: Introduction to Precise Numerical Methods, Elsevier 2007, ISBN 0-12-373859-8, Seite 142</ref><ref>Branko Grünbaum: Convex Polytopes, 2-te Auflage, Springer 2003, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-0-387-40409-7, Seite 305</ref>

Daraus folgt, dass es genau <math>2^d</math> Orthanten gibt. Genauer spricht man von abgeschlossenen Orthanten, denn es handelt sich um abgeschlossene Mengen. Die offenen Orthanten erhält man, wenn man in obiger Definition das <math>\ge </math> durch die strikte Ungleichung <math>></math> ersetzt.

Manche Autoren betrachten auch um einen festen Vektor verschobene Orthanten. So wird in<ref>Rainer Dycherhoff, Karl Mosler: Orthant orderings of discrete random vectors, Journal of Statistical Planning and Inference 62 (1997), Seiten 193–205</ref> die Menge <math>\{x\in \R^d\mid x\le a\}</math> als der untere Orthant an den Vektor <math>a\in \R^d</math> bezeichnet.

Beispiele

Im <math>\R^2</math> sind die Orthanten die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems.

Im <math>\R^3</math> nennt man die acht Orthanten entsprechend Oktanten.

Einzelnachweise