Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra.

Definition

Für einen komplexen Hilbertraum <math>H</math> mit Skalarprodukt <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle</math> und einen beschränkten linearen Operator <math>T \colon H\to H</math> ist der numerische Wertebereich von <math>T</math> gegeben durch

<math>W(T):=\left\{\langle Tx,x\rangle:\lVert x\rVert=1\right\},</math>

wobei <math>\lVert{\cdot}\rVert</math> die durch <math>\langle{\cdot},{\cdot}\rangle</math> auf <math>H</math> induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch <math>w(T):=\sup\{|\lambda|:\lambda\in W(T)\}</math>.

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

<math>W(A)=\left\{\frac{x^*Ax}{x^*x}:x\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}\right\}.</math>

<math>W(A)</math> ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren <math>T \colon H\to H</math>.

<math>W(T)\subseteq\{\lambda\in\mathbb{C}:|\lambda|\leq\lVert T\rVert\}</math> bzw. äquivalent dazu <math>w(T)\leq\lVert T\rVert</math>. Hierbei bezeichnet <math>\lVert T\rVert</math> die Operatornorm von <math>T</math>.
Der numerische Wertebereich von <math>T</math> ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
Das Spektrum <math>\sigma(T)</math> liegt im Abschluss von <math>W(T)</math>: <math>\sigma(T)\subseteq\overline{W(T)}</math>. Ist <math>H</math> endlich-dimensional, gilt sogar <math>\sigma(T)\subseteq W(T)</math>.
Jedes <math>\lambda\in W(T)</math>, für das <math>|\lambda|=\lVert T\rVert</math> gilt, ist ein Eigenwert von <math>T</math>.

Anwendungen

Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix <math>A</math> ist dies

<math>\mu(A)=\max\left\{ x^*Ax:\ x^*x=1\right\}.</math>

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

Denn <math>y(t)=e^{tA}y_0</math> löst das Anfangswertproblem <math>y'(t)=Ay(t),\,y(0)=y_0</math>. Dann gilt für die Euklidnorm <math>N(t)=\|y(t)\|^2</math>, dass ihre Ableitung die Ungleichung <math>N'(t)=2y(t)^*y'(t)=2y(t)^*Ay(t)\le2\mu(A) y(t)^*y(t)=\mu(A) N(t)</math> erfüllt, woraus <math>N(t)\le e^{2t\mu(A)}N(0)</math> folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

Literatur

E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.