Niven-Konstante

Die Niven-Konstante, benannt nach dem kanadisch-amerikanischen Mathematiker Ivan M. Niven, ist eine mathematische Konstante aus der Zahlentheorie. Sie ist definiert als der Grenzwert des arithmetischen Mittels der maximalen Exponenten der Primfaktorzerlegungen der ersten <math>n</math> natürlichen Zahlen für <math>n \to \infty</math>.

Definition

Es sei <math>m>1</math> eine ganze Zahl mit der Primfaktorzerlegung <math>m = p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3} \cdots p_k^{a_k}</math> mit <math>a_i > 0</math> und <math>p_i \neq p_j</math> für <math>i \neq j</math>, außerdem <math>H\left(1\right) = 1</math> und <math>H(m) = \max\{a_1,...,a_k\}</math> das Maximum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von <math>m</math> (Folge A051903 in OEIS), zum Beispiel sind die Zahlen <math>m</math> mit <math>H(m) = 1</math> genau die quadratfreien Zahlen. Damit ist die Niven-Konstante definiert als

<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n H(j).</math>

Eigenschaften

Die Niven-Konstante lässt sich durch die Riemannsche Zetafunktion <math>\zeta\left(k\right)</math> ausdrücken und auf diesem Wege näherungsweise berechnen (Niven 1969):<ref>Ivan Niven: Averages of exponents in factoring integers. (18. Juni 1968), Proceedings of the AMS 22, 1969, S. 356–360 (englisch)</ref>

<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n H(j)= 1 + \sum_{k=2}^\infty \biggl(1-\frac{1}{\zeta(k)}\biggr)</math> <math>= 1{,}70521\text{ }11401\text{ }05367\text{ }76428\text{ }85514\text{ }53434\text{ }50816\text{ }07620\text{ }27651\text{ }65346\text{ }...</math> (Folge A033150 in OEIS)

Für das asymptotische Verhalten der Minima der Exponenten bewies Niven auf Anregung von Erdős

<math>\sum_{j=1}^n h(j) = n + \frac{\zeta(\tfrac 32)}{\zeta(3)} \sqrt{n} + o(\sqrt{n}),</math>

wobei <math>h\left(1\right) = 1</math> und <math>h(m) = \min\{a_1,...,a_k\}</math> das Minimum der Exponenten in der Primfaktorzerlegung von <math>m</math> (Folge A051904 in OEIS) und <math>o</math> ein Landau-Symbol ist. Somit ist insbesondere

<math>\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n h(j) = 1.</math>

Literatur

Steven R. Finch: Niven’s constant. Kapitel 2.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 112–115 (englisch)

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Niven’s Constant. In: MathWorld (englisch). {{#if: NivensConstant | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | NivensConstant | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Folge A033151 in OEIS (Kettenbruchentwicklung der Niven-Konstante)

Einzelnachweise