Nichtkommutatives Polynom
Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.
Definition
Sei <math>\mathcal{X}</math> eine Menge und <math>W(\mathcal{X})</math> das freie Monoid über <math>\mathcal{X}</math>. (Dann ist <math>W(\mathcal{X}) = \{ x_1 \cdots x_n | x_i \in \mathcal{X}, \; n \ge 1 \} \cup \{ 1 \}</math>) Sei <math>R</math> ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über <math>R</math> ist definiert als
- <math> R \langle \mathcal{X} \rangle := \{ \sum_{x \in W(\mathcal{X})} r_w w | r_w \in R, \; r_w = 0 \; \operatorname{f\ddot{u}r} \text{ fast alle } w \} \cong \bigoplus_{w \in W(\mathcal{X})} R </math>
Die Addition auf <math> R \langle \mathcal{X} \rangle </math> wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung
- <math> \sum_w a_w w \cdot \sum_w b_w w := \sum_w (\sum_{uv=w} a_u b_v) w </math>
definiert.
Eigenschaften
- Für endliche Mengen <math>\mathcal{X} = \{ X_1 , \ldots , X_n \} </math> schreibt man <math>R \langle X_1, \ldots, X_n \rangle </math>.
- <math> R \langle X \rangle = R [X] </math> für eine Variable <math> X </math>
- <math> R \langle \mathcal{X} \rangle / [R \langle \mathcal{X} \rangle , R \langle \mathcal{X} \rangle ] = R [\mathcal{X}] </math>