Nicht-fortsetzbare Lösung
In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erhält man aus dem Satz von Peano und dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer lokalen Lösung eines gegebenen Anfangswertproblems. Man ist vor allem daran interessiert, ob man diese Lösung immer weiter fortsetzen kann, bis man zu einer nicht-fortsetzbaren Lösung (gelegentlich auch maximale Lösung genannt) gelangt. In einem zweiten Schritt ist man an dem Grund für die Nicht-Fortsetzbarkeit interessiert. Dies wird durch den Satz vom maximalen Existenzintervall geklärt.
Typischerweise werden die Ergebnisse in folgender Reihenfolge angewandt:
- Zunächst zeigt man mit dem Satz von Peano oder dem Satz von Picard-Lindelöf die Existenz einer (ggf. eindeutigen) lokalen Lösung des Anfangswertproblems.
- Daraus folgt mit dem unten angegebenen Satz die Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung des Anfangswertproblems. Deren Eindeutigkeit bekommt man als Anwendung der gronwallschen Ungleichung.
- Mit Hilfe des Satzes vom maximalen Existenzintervall kann man durch Ausschluss der übrigen Alternativen (beispielsweise mit Vergleichsargumenten) folgern, dass diese nicht-fortsetzbare Lösung global ist.
Im Folgenden sei stets <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math>.
Existenz einer nicht-fortsetzbaren Lösung
Sei <math>G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n</math> und <math>F: G \rightarrow \mathbb{K}^n</math> stetig. Weiter sei <math>y \in C([a,b); \mathbb{K}^n) \cap C^1((a,b); \mathbb{K}^n)</math> eine Lösung von
- <math>\ y' = F(x,y)</math>
auf <math>(a,b)</math>. Dann gibt es ein <math>x^+ \in [b, \infty)</math> und eine Lösung <math>u</math> obiger Differentialgleichung auf <math>(a,x^+)</math> mit den Eigenschaften:
- <math>y(x) = u(x)</math> auf <math>[a, b)</math>.
- Es gibt kein <math>s^+ > x^+</math>, so dass <math>u</math> zu einer Lösung auf <math>(a, s^+)</math> fortgesetzt werden kann.
Dieser Satz wird bewiesen, indem man eine partielle Ordnung auf der Menge aller Lösungen derart einführt, dass maximale Elemente stets nicht-fortsetzbare Lösungen sind. Deren Existenz wird mit dem Lemma von Kuratowski-Zorn bewiesen. Details sind im Beweisarchiv zu finden. Auf Grund dieses Beweises wird die nicht-fortsetzbare Lösung gelegentlich auch als maximale Lösung bezeichnet. Man verwechsle dies aber nicht mit dem Begriff der maximalen Lösung eines nicht-eindeutig lösbaren Anfangswertproblems <math>y'=F(x,y), y(a) = y_0</math> (für stetiges <math>F</math>).
Der Satz vom maximalen Existenzintervall
Hat man eine nicht-fortsetzbare Lösung vorliegen, möchte man wissen, was am Rand ihres Definitionsbereichs passiert. Das Ausschließen dieses Phänomens würde dann nämlich Globalität dieser Lösung nach sich ziehen.
Formulierung
Sei <math>D \subset \mathbb{K}^n</math> und <math>F:[a,b) \times D \rightarrow \mathbb{K}^n</math> stetig; dabei sei explizit <math>b = \infty</math> zugelassen. Betrachte die Differentialgleichung
- <math>y' = F(x,y)\ .</math>
Dann gilt für jede nicht-fortsetzbare Lösung <math>y: [a,x^+) \rightarrow D</math>
- <math>\ x^+ = b</math> (Globalität) oder
- <math>\lim_{x\nearrow x^+}\min\left\{{\rm dist}(y(x), \partial D), \frac{1}{\|y(x)\|}\right\} = 0\ .</math>
Hierin sei <math>{\rm dist}(z, \emptyset) := \infty</math> vereinbart.
Variante für lokal Lipschitz-stetige Differentialgleichung
Seien <math>G \subset \mathbb{R} \times \mathbb{K}^n</math>, <math>F: G \rightarrow \mathbb{K}^n</math> stetig sowie lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen und <math>y: (x^-, x^+) \rightarrow \mathbb{K}^n</math> eine nicht-fortsetzbare Lösung von <math>\ y' = F(x,y)</math>. Dann gilt
- <math>x^+ = \infty</math> (Globalität) oder
- <math>\lim_{x\nearrow x^+}\|y(x)\| = \infty</math> oder
- es gibt eine Folge <math>x_j \nearrow x^+</math>, so dass der Grenzwert <math>\lim_{j\rightarrow\infty}y(x_j) =: y^\star</math> existiert mit <math>(x^+, y^\star) \in \partial G</math>.
Literatur
- Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, ISBN 3-11-014582-0.
- Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.
