Moser-Ungleichung

Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der <math>L^2</math>-Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der <math>L^2</math>-Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

Mit <math>L^p(\R^m)</math> wird der <math>L^p</math>-Raum und mit <math>H^s(\R^m)</math> für <math>s \in \N</math> der Sobolev-Raum der <math>L^2</math>-Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante <math> C_{s} \in \R_{> 0}</math> so, dass für alle Funktionen <math>f,\, g \in H^{s}(\R^m) \cap L^{\infty}(\R^m)</math> und für jeden Multiindex <math>\alpha</math> mit <math>\left|\alpha\right| = s</math> die Ungleichung<ref name=Taylor>Michael Eugene Taylor: Partial Differential Equations. Band 3: Nonlinear equations. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 0-387-94652-7 (Applied mathematical Sciences 117), S. 10–11.</ref>

<math>\| D^{\alpha} (f \cdot g) \|_{L^{2}} \leqq C_{s} \left( \| f \|_{L^{\infty}} \| g \|_{L^2} + \| D^{s} f \|_{L^2} \| g \|_{L^{\infty}} \right)</math>

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass <math>f</math> einmal schwach differenzierbar ist, also <math>f \in H^{s}(\R^m) \cap W^{1,\infty}(\R^m)</math> gilt, wobei <math>W^{1,\infty}(\R^m)</math> den Sobolev-Raum der <math>L^1</math>-Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung<ref name=Taylor />

<math>\| D^{\alpha} (f g) - f D^{\alpha} g \|_{L^2} \leqq C_{s} \left( \| D^{s} f \|_{L^2} \| g \|_{L^{\infty}} + \| f \|_{L^{\infty}} \| D^{s-1} g \|_{L^2}\right).</math>

Die Funktion <math>g</math> ist hier aus dem Raum und <math>H^{s-1}(\R^m) \cap L^{\infty}(\R^m)</math>.

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Beweisidee

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall <math> f,\, g \in C^{\infty}_{c}(\R^m)</math>. Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.

Einzelnachweise