Monotoner Dichtequotient

Ein wachsender oder monotoner Dichtequotient, auch wachsender oder monotoner Likelihood-Quotient genannt, ist eine Eigenschaft einer Verteilungsklasse oder eines statistischen Modells in der mathematischen Statistik. Für Modelle mit wachsendem Dichtequotienten lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma verallgemeinern und liefert somit die Existenz gleichmäßig bester Schätzer.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell <math> (X, \mathcal A, (P_\vartheta)_{\vartheta \in \Theta}) </math> mit <math> \Theta \subset \R </math>. Des Weiteren existiere für alle <math> \vartheta \in \Theta </math> die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen <math> f_\vartheta (x ) </math>. Definiere

<math> R_{\vartheta \colon \overline \vartheta}:= \frac{f_{\overline \vartheta}(x)}{f_\vartheta(x)} </math>

die Dichtequotientenfunktion.

Existiert nun für alle <math> \vartheta < \overline \vartheta </math> eine Statistik

<math> T \colon X \to \R </math>,

so dass die Dichtequotientenfunktion eine monoton wachsende Funktion in <math> T </math> ist, so heißt das statistische Modell ein Modell mit wachsendem Dichtequotienten in <math> T </math>.

Es existiert also eine monoton wachsende Funktion <math> g_{\vartheta \colon \overline \vartheta} </math>, so dass

<math> R_{\vartheta \colon \overline \vartheta}=g_{\vartheta \colon \overline \vartheta} \circ T </math>

ist.

Verwendung

In Modellen mit monotonem Dichtequotient lässt sich das Neyman-Pearson-Lemma auf einseitige Tests verallgemeinern. Dabei sind einseitige Tests von der Form

<math> \Theta_0= \{\vartheta \in \Theta \, | \, \vartheta \leq \vartheta_0\} \text{ und } \Theta_1 =\{\vartheta \in \Theta \, | \, \vartheta > \vartheta_0\} </math>

oder umgekehrt, wobei <math> \Theta \subset \R </math> und <math> \vartheta_0 </math> eine vorgegebene Zahl ist. Somit existiert in diesem Fall ein gleichmäßig bester Test zu einem vorgegebenen Niveau <math> \alpha </math>, der auch explizit angegeben werden kann.

Eine große Verteilungsklasse mit monotonem Dichtequotient ist beispielsweise die einparametrige Exponentialfamilie.

Literatur

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