Maxwellscher Spannungstensor

Der Maxwellsche Spannungstensor <math>T</math> (benannt nach James Clerk Maxwell) ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der in der klassischen Elektrodynamik verwendet wird, um die Wechselwirkung zwischen elektromagnetischen Kräften und mechanischem Impuls darzustellen.

In einfachen Situationen, beispielsweise eine elektrische Punktladung, die sich in einem homogenen Magnetfeld frei bewegt, lassen sich die Kräfte auf die Ladung durch die Lorentzkraft berechnen. Für komplexere Probleme wird das Verfahren über die Lorentzkraft sehr lang. Es ist daher zweckmäßig, verschiedene Größen der Elektrodynamik im Maxwellschen Spannungstensor zu sammeln.

In der relativistischen Formulierung des Elektromagnetismus erscheint der Maxwell-Tensor als Teil des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors.

Definition

Im Vakuum ist der Maxwellsche Spannungstensor in SI-Einheiten definiert durch

<math>T_{ij} = \varepsilon_0 E_iE_j + \frac{B_iB_j}{\mu_0} - \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{\mu_0}\right)\delta_{ij}</math>,

wobei

<math>E_i</math> die Komponenten der elektrischen Feldstärke bezeichnen
<math>B_i</math> die Komponenten der magnetischen Flussdichte
<math>\varepsilon_0</math> die elektrische Feldkonstante
<math>\mu_0</math> die magnetische Feldkonstante
<math>\delta_{ij}</math> das Kronecker-Delta.

In gaußschen cgs-Einheiten ergibt sich der Tensor zu

<math>T_{ij} = \frac{1}{4\pi}\left(E_i E_j + H_i H_j - \frac{1}{2}\left(E^2 + H^2\right)\delta_{ij}\right)</math>

mit den Komponenten <math>H_i</math> der magnetischen Feldstärke.

Für elektromagnetische Wellen in einem linearen Medium lässt sich der Maxwellsche Spannungstensor definieren als:<ref name=jackson>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>T_{ij} = \frac{1}{4\pi}\left(E_i D_j + H_i B_j - \frac{1}{2}\left(\vec E \cdot \vec D + \vec H \cdot \vec B \right)\delta_{ij}\right)</math>

Diese Definition ist für anisotrope Medien jedoch nicht mehr symmetrisch.<ref name=jackson />

Die Kraft pro Volumen <math>\vec{f} = \vec{F}/V</math> kann aus der Divergenz des Spannungstensors und dem Poynting-Vektor <math>\vec S</math> bestimmt werden.

<math>(\vec \nabla \cdot \mathbf T)_k = \sum^3_{i=1} \frac{\partial T_{ik}}{\partial_{x_i}} = f_k + \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial S_k}{\partial t}</math>

Magnetostatik

Für rein magnetische Felder (z. B. näherungsweise in Motoren) fallen einige Terme weg, wodurch sich der Maxwell-Tensor vereinfacht zu:

<math>T_{ij} = \frac{1}{\mu_0} B_i B_j - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{ij}</math>

Für zylinderförmige Objekte – z. B. die Rotoren eines Motors – ergibt sich

<math>T_{rt} = \frac{1}{\mu_0} B_r B_t - \frac{1}{2\mu_0} B^2 \delta_{rt}</math>

Dabei ist

<math>r</math> die Scherung in radialer Richtung (vom Zylinder nach außen)
<math>t</math> die Scherung in tangentialer Richtung (um den Zylinder herum). Der Motor wird hierbei durch die Tangentialkraft angetrieben.
<math>B_r</math> die Flussdichte in radialer Richtung
<math>B_t</math> die Flussdichte in tangentialer Richtung.

Elektrostatik

In der Elektrostatik, für die das Magnetfeld verschwindet (<math>\vec{B}=\vec{0}</math>), ergibt sich der elektrostatische Maxwellsche Spannungstensor. In Komponentenschreibweise ergibt sich dieser durch:

<math>T_{ij} = \varepsilon_0 E_i E_j - \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\delta_{ij}</math>

und in symbolischer Schreibweise durch

<math>\boldsymbol{T} = \varepsilon_0\vec{E} \otimes \vec{E} - \frac{1}{2}\varepsilon_0(\vec{E} \cdot \vec{E})\mathbf{I}</math>

wobei <math>\mathbf{I}</math> der Identitätstensor sei.

Literatur

David J. Griffiths: Introduction to Electrodynamics. Benjamin Cummings Inc., 2008, S. 351–352
John David Jackson: Classical Electrodynamics. 3. Auflage, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker: Electromagnetic Fields and Interactions. Dover Publications Inc., 1964.

Einzelnachweise

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