Zum Inhalt springen

Mahalanobis-Abstand

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Der Mahalanobis-Abstand, auch Mahalanobis-Distanz oder verallgemeinerter Abstand<ref name=":0">{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Mahalanobis' generalized distance|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Mahalanobis' generalized distance}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:Glossary of statistical terms| Glossary of statistical terms{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Glossary of statistical terms}}}}}}|{{#if:https://isi-web.org/glossary/1409%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Mahalanobis' generalized distance}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://isi-web.org/glossary/1409}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Mahalanobis' generalized distance}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Glossary of statistical termsInternational Statistical Institute2011-06-01{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:Glossary of statistical terms| Glossary of statistical terms{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Glossary of statistical terms}}}}}}}}{{#if:https://isi-web.org/glossary/1409%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=https://isi-web.org/glossary/1409}}%7C%7C}}}}{{#if:Mahalanobis' generalized distance|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Mahalanobis' generalized distance|lines=0}}||}}}}{{#if: International Statistical Institute| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=International Statistical Institute}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: 2011-06-01|,|{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: 2011-06-01| {{#if:{{#invoke:DateTime|format|2011-06-01|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|2011-06-01|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum=2011-06-01|class=Zitationswartung}} }}{{#if: |,|{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: |,|{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| {{#if:2011-06-01|{{#if:|archiviert|ehemals}}|{{#if:|Archiviert|Ehemals}}}} {{#if:|vom|im}} Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: | am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|{{{archiv-datum}}}{{#if:119867||(?)}}}}}}{{#if: 2025-02-08|;}}}}{{#if: 2025-02-08| {{#if:2011-06-01{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|abgerufen|Abgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2025-02-08 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2025-02-08|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2025-02-08|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:en|de||{{#if:en|1}}}}|{{#if:Glossary of statistical termsInternational Statistical Institute2011-06-01{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|en|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:en|en|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: 2011-06-01{{#if: 2025-02-08 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}en|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|{{#if:||{{#ifeq: | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
       | {{#if:  | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://isi-web.org/glossary/1409}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://isi-web.org/glossary/1409 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://isi-web.org/glossary/1409}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://isi-web.org/glossary/1409 }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
       | {{#if:  | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://isi-web.org/glossary/1409}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=https://isi-web.org/glossary/1409 Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: https://isi-web.org/glossary/1409
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|https://isi-web.org/glossary/1409}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[https://isi-web.org/glossary/1409 }} }}}}}}}}}}{{#if:|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp={{{archiv-bot}}}|text={{#if:|Vorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref> (nach Mahalanobis) genannt, ist ein Distanzmaß zwischen Punkten in einem mehrdimensionalen Vektorraum. Intuitiv gibt der Mahalanobis-Abstand zweier Punkte ihren Abstand in Standardabweichungen an. Der Mahalanobis-Abstand wird speziell in der Statistik verwendet, zum Beispiel im Zusammenhang mit multivariaten Verfahren.

Definition

Bei multivariaten Verteilungen werden die <math>m</math> Koordinaten eines Punktes als <math>m</math>-dimensionaler Spaltenvektor dargestellt. Man fasst ihn als Realisierung eines Zufallsvektors <math>\mathbf X</math> mit der Kovarianzmatrix <math>\mathbf \Sigma</math> auf. Der Abstand zweier so verteilter Punkte <math>\mathbf x</math> und <math>\mathbf y</math> wird dann durch den Mahalanobis-Abstand in der Grundgesamtheit

<math>\Delta(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(\mathbf x - \mathbf y)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \mathbf y)}</math>

bestimmt. Der Mahalanobis-Abstand ist skalen- und translationsinvariant.

Analog gilt für den Mahalanobis-Abstand in der Stichprobe:

<math>D(\mathbf x, \mathbf y) = \sqrt{(\mathbf x - \mathbf y)^{\top} \mathbf \mathbf{S}^{-1} (\mathbf x - \mathbf y)}</math>,

wobei <math>\mathbf{S}^{-1}</math> die Inverse der Stichproben-Kovarianzmatrix <math>\mathbf{S}</math> darstellt.

Im Zweidimensionalen bilden die Punkte mit gleichem Mahalanobis-Abstand von einem Zentrum graphisch eine Ellipse (deren Achsen nicht notwendigerweise in Richtung der Koordinatenachsen zeigen), während es beim euklidischen Abstand ein Kreis ist. Ist die Kovarianzmatrix die Einheitsmatrix (dies ist genau dann der Fall, wenn die einzelnen Komponenten des Zufallsvektors <math>\mathbf X</math> paarweise unkorreliert sind und jeweils Varianz 1 besitzen), so entspricht der Mahalanobis-Abstand dem euklidischen Abstand. Die Flächen konstanten Abstandes von einem Punkt können beim Mahalanobis-Abstand beliebige Kegelschnitte sein.

Mathematisch ergibt sich der Mahalanobis-Abstand aus der <math>m</math>-dimensionalen Normalverteilung mit Erwartungswertvektor <math>\boldsymbol \mu</math> und Kovarianzmatrix <math>\mathbf \Sigma</math>, wobei <math>\det(\mathbf \Sigma) \neq 0</math> gilt. Diese Verteilung besitzt nämlich die Dichte

<math>f_X(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^\frac{m}{2} \sqrt{|\det(\mathbf \Sigma)|}} \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)\right)</math>.

Durch Logarithmieren dieses Ausdrucks erhält man die logarithmische Dichte

<math>\log f_X(\mathbf{x})=-\frac{1}{2} (\mathbf x - \boldsymbol \mu)^{\top} \mathbf \Sigma^{-1} (\mathbf x - \boldsymbol \mu) - c</math>

mit einer Konstanten <math>c</math>, was bis auf die fehlende Wurzel, den Vorfaktor und den Summanden <math>c</math> dem Mahalanobis-Abstand entspricht.

Anwendungen

In der Diskriminanzanalyse wird die Zuordnung eines Punktes zu einer bestimmten gegebenen Population unter anderem mit dem Mahalanobis-Abstand bestimmt. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Erkennung von Ausreißern mit Hilfe des Mahalanobis-Abstands, wobei der Punkt <math>\mathbf y</math> durch einen (robusten) Lageparameter ersetzt wird. Kritisch ist dabei anzumerken, dass sowohl die Kovarianzmatrix als auch die Lageparameter durch Ausreißer verzerrt sein können. Sie werden in den meisten Fällen durch robuste Verfahren geschätzt, z. B. mit Hilfe der MCD-Schätzer (MCD {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=en|SCRIPTING=Latn|SERVICE=englisch}} für Minimum Covariance Determinant, {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=de|SCRIPTING=Latn|SERVICE=deutsch}} etwa Schätzer mit kleinstmöglicher Determinante der Kovarianzmatrix). Weiterhin können bei der Verwendung des Mahalanobis-Abstandes als Abstandsklassifikator zwei Fälle unterschieden werden:

  1. Die Kovarianzmatrix ist für alle Klassen gleich oder gemittelt.
  2. Es werden unterschiedliche Kovarianzmatrizen für die einzelnen Klassen verwendet.

Die Entscheidung für eine Alternative ist durch empirische Analysen zu begründen.

Siehe auch

Literatur

  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Mahalanobis-Abstand&oldid=119867“