Logit

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Grafische Darstellung der Logit-Funktion logit(p) im Definitionsbereich von 0 bis 1, wobei die Basis des Logarithmus e ist.

Ein Logit ist in der Statistik der natürliche Logarithmus einer Chance, d. h. der Wahrscheinlichkeit <math>p</math> geteilt durch die Gegenwahrscheinlichkeit <math>1-p</math>. Unter der Logit-Transformation versteht man die Transformation von Wahrscheinlichkeiten in Logits. Diese wird in der logistischen Regression zur Spezifikation der Kopplungsfunktion verwendet.

Definition

Ein Logit ist der natürliche Logarithmus einer Chance (Wahrscheinlichkeit <math>p</math> durch Gegenwahrscheinlichkeit <math>1-p</math>, engl. odds) für eine Wahrscheinlichkeit <math>0 < p < 1</math><ref>Torsten Becker et al.: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden. Springer Spektrum, 2016. S. 310.</ref>, d. h.

<math>\operatorname{logit}(p):=\ln \left(\frac{p}{1-p}\right) = \ln \left(\operatorname{odds}(p)\right)\;.</math>

Die Funktion <math>\operatorname{logit}\colon (0,1) \to \R</math> heißt Logit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten <math> p \in (0,1)</math> in <math>\operatorname{logit}(p) \in \R</math> transformiert werden, spricht man auch von einer Logit-Transformation.

Eigenschaften

• Die Logit-Funktion kann auch mit dem Areatangens Hyperbolicus dargestellt werden,

<math>\operatorname{logit}(p)= 2\operatorname{artanh}(2p - 1), \quad 0 < p < 1 \;. </math>

• Es gilt

<math> \operatorname{logit}(p) \begin{cases} < 0&\text{für }p < 1/2\\

                                              = 0&\text{für }p = 1/2\\ 
                                              > 0&\text{für }p > 1/2
                                 \end{cases}\;.</math>

• Die Logit-Funktion besitzt die Symmetrieeigenschaft

<math>\operatorname{logit}(1 - p) = -\operatorname{logit}(p)\quad\text{für alle } 0 < p < 1 </math>

• Die Logit-Funktion ist differenzierbar und hat die Ableitungsfunktion

<math> \operatorname{logit}'(p) = \frac{1}{p(1-p)} > 0\quad \text{für alle } 0 < p < 1\;.</math>

• Die Logit-Funktion ist invertierbar. Die Umkehrfunktion der Logit-Funktion ist die logistische Funktion (manchmal auch Expit oder Sigmoid genannt):

<math>F_{\text{logistisch}}(x) := \operatorname{logit}^{-1}(x) = \frac{e^x}{1+e^x}=\frac{1}{1+ e^{-x}}, \quad x \in \R</math>.

Anwendung

{{#invoke:Vorlage:Siehe auch|f}} Die Logit-Funktion kann zur Linearisierung von sigmoiden Kurven verwendet werden und hat daher eine große Bedeutung für die Auswertung von ELISA-Kurven in der Biochemie erlangt.

Die Logit-Transformation ist von zentraler Bedeutung für die logistische Regression.

Siehe auch

• Probit

Weblinks

• Which Link Function — Logit, Probit, or Cloglog? 12.04.2023

Einzelnachweise

<references />