Zum Inhalt springen

Ljapunow-Diagramm

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Lyapunovspace.jpg
Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz BA, bekannt als Ljapunow-Space
Datei:Zirconzity.jpg
Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz BBBBBBAAAAAA, bekannt als Zircon Zity

Ljapunow-Diagramme (nach Alexander Michailowitsch Ljapunow; auch bekannt als Ljapunow-Fraktale oder Markus-Ljapunow-Fraktale) sind Fraktale, die durch eine Modifikation der Logistischen Gleichung entstehen. Der Wachstumsgrad der Population – <math>r</math> – wird anders als bei Logistischen Gleichung, nicht für jeden Punkt konstant gehalten, sondern in periodischen Sequenzen (z. B. Sequenz „ABAAB“) zwischen zwei Werten <math>a</math> und <math>b</math>, mit <math>0 \le a,b \le 4 </math> umgeschaltet.

Die logistische Gleichung lautet

<math>x_{n+1} = r_n x_n (1 - x_n)</math>

mit dem üblichen Startwert <math>x_0 = 0{,}5</math>. In diesem Beispiel (Sequenz „ABAAB“ mit der Länge 5) würde <math>r</math>

<math>r_0 = r_5 = \ldots = r_{5k+0} = a</math>,
<math>r_1 = r_6 = \ldots = r_{5k+1} = b</math>,
<math>r_2 = r_7 = \ldots = r_{5k+2} = a</math>,
<math>r_3 = r_8 = \ldots = r_{5k+3} = a</math>,
<math>r_4 = r_9 = \ldots = r_{5k+4} = b</math>

gewählt werden.

Daraus ergeben sich folgende mathematischen und gestalterischen Unterschiede zur Logistischen Gleichung:

  • Man hat statt einer Zahl <math>r</math> zwei Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> auszuwählen. Dadurch erhält man statt einer eindimensionale Funktion <math>f(r)</math> eine zweidimensionale Funktion <math>f(a,b)</math>.
  • Man stellt daher nicht mehr die Werte der Reihe <math>x_0</math>, <math>x_1</math>, <math>\ldots</math> als Funktion über <math>r_\mathrm{min} \le r \le r_\mathrm{max}</math> dar, sondern genauso wie beim Apfelmännchen das Konvergenzverhalten der Reihe als Karte von <math>(a_\mathrm{min} \le a \le a_\mathrm{max}) \times (b_\mathrm{min} \le b \le b_\mathrm{max})</math>.
  • Man hat die Sequenzfolge als weiteren Gestaltungsfaktor.

Dann werden für Werte <math>(a,b)</math> aus Intervallen, die – um interessante Figuren zu bekommen – meist im Bereich <math>0 \le a \le 4</math> und <math> 0 \le b \le 4</math> gewählt werden, jeweils die Iterationswerte der logistischen Gleichung und der Ljapunow-Exponent berechnet:

<math>\lambda = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log \left|{dx_{n+1} \over dx_n}\right| = \lim_{N \rightarrow \infty} {1 \over N} \sum_{n = 1}^N \log |r_n (1 - 2x_n)|</math>

Ist der Wert von <math>\lambda < 0</math>, wählt man für den Punkt mit den Koordinaten <math>(a,b)</math> z. B. gelb als Farbe, ist er größer als Null (was zu exponentiellem Wachstum führt, Chaos), wählt man z. B. blau als Farbe. Entsprechend kann man die Farbwerte noch abstufen je nach der Größe von <math>\lambda</math>. Das Ergebnis ist das Ljapunow-Diagramm, das häufig fraktaler Natur ist. Ein Beispiel ist das Diagramm Zircon Zity, gebildet mit <math>3{,}4 \le a \le 4{,}0 </math> und <math> 2{,}5 \le b \le 3{,}4</math> und der Sequenz „BBBBBBAAAAAA“.

Andere Iterationen

Mehr Dimensionen

Datei:Lyapunov fractal animation.webm
3D-Ljapunow-Fraktal mit der Sequenz ABBBCA als Animation
Datei:Lyapunov-fractal-3D-ABCCAAB.png
3D-Rendering eines Ljapunow-Fraktals mit der Sequenz ABCCAAB

Es können mehr als zweidimensionale Ljapunow-Diagramme generiert werden, indem man

  • mehr als zwei Werte, z. B. die Werte <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> wählt,
  • Sequenzen definiert, die diese Werte benutzen, z. B. „ABCC“,
  • geeignete Wertebereiche für <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> wählt.

In diesem Beispiel (Sequenz „ABCC“ mit der Länge 4) würde <math>r</math>

<math>r_0 = r_4 = \ldots = r_{4k+0} = a</math>,
<math>r_1 = r_5 = \ldots = r_{4k+1} = b</math>,
<math>r_2 = r_6 = \ldots = r_{4k+2} = c</math>,
<math>r_3 = r_7 = \ldots = r_{4k+3} = c</math>

gewählt werden.

Dreidimensionale Diagramme können auch als Animation dargestellt werden.

Bemerkung

Zu bemerken ist, dass das Wort „fraktal“ in dieser Wikipedia-Seite eine umgangssprachliche Bezeichnung ist. Es entspricht nicht der allgemeineren Eigenschaft von Fraktalen, in der die Formen der Bilder sich in kleineren Skalen wiederholen.

Quellen

Weblinks

[{{canonicalurl:Commons:Category:{{#if:Lyapunov fractals|Lyapunov fractals|Ljapunow-Diagramm}}|uselang=de}} Commons: {{#if:|{{{2}}}|{{#if:Lyapunov fractals|Lyapunov fractals|{{#invoke:WLink|getArticleBase}}}}}}]{{#switch:1

|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if: 

    | {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
        |1/=  und Videos
        |1/1=, Videos und Audiodateien
        |/1=  und Audiodateien}}
    | , Videos und Audiodateien
  }}

|#default= – }}{{#if: Lyapunov fractals 

   | {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|lyapunov fractals|9}} 
       | category:
| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}

Vorlage:Wikidata-Registrierung 

      | {{#ifeq: 20090307202439 | *
    | Vorlage:Webarchiv/Wartung/Stern{{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }} (Archivversionen)
    | {{#iferror: {{#time: j. F Y|20090307202439}}
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/DatumDer Wert des Parameters {{#if: wayback | wayback | Datum }} muss ein gültiger Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS sein!
         | {{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y|20090307202439}} im Internet Archive{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
      }}
  }}
      | {{#if:
          | {{#iferror: {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}}
    | {{#switch: {{#invoke:Str|len|{{{webciteID}}}}}
       | 16= {{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer }} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{{webciteID}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | 9 = {{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }} {{#ifeq:  | [] | [ | ( }}Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y| 19700101000000 + {{#expr: floor {{#expr: {{#invoke:Str|sub|{{#invoke:Expr|base62|{{{webciteID}}}}}|1|10}}/86400}} }} days}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
       | #default= Der Wert des Parameters {{#if: webciteID | webciteID | ID }} muss entweder ein Zeitstempel der Form YYYYMMDDHHMMSS oder ein Schüsselwert mit 9 Zeichen oder eine 16-stellige Zahl sein!Vorlage:Webarchiv/Wartung/webcitation{{#if:  || }}
      }}
    | c|{{{webciteID}}}}} {{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }} (Memento{{#if: {{#if:  | {{{archiv-bot}}} |  }} |  des Vorlage:Referrer}} vom {{#time: j. F Y|{{{webciteID}}}}} auf WebCite{{#if:  | ;  }}{{#ifeq:  | [] | ] | ) }}
  }}
          | {{#if: 
              | Vorlage:Webarchiv/Today
              | {{#if:
                      | Vorlage:Webarchiv/Generisch
                      | {{#if: Ljapunow-Diagramme im Design | {{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Ljapunow-Diagramme im Design}} | {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}} }}  
                 }}}}}}}}{{#if:
    | Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
  }}{{#invoke:TemplatePar|check
     |all      = url=
     |opt      = text= wayback= webciteID= archive-is= archive-today= archiv-url= archiv-datum= ()= archiv-bot= format= original=
     |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
     |errNS    = 0
     |template = Vorlage:Webarchiv
     |format   = *
     |preview  = 1
  }}{{#ifexpr: {{#if:20090307202439|1|0}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}}{{#if:|+1}} <> 1
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Genau einer der Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive-today', 'archive-is' oder 'archiv-url' muss angegeben werden.|1}}
  }}{{#if: 
    | {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|{{{archiv-url}}}}}
        | web.archive.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von Internet Archive erkannt, bitte Parameter 'wayback' benutzen.|1}} 
        | webcitation.org = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von WebCite erkannt, bitte Parameter 'webciteID' benutzen.|1}} 
        | archive.today |archive.is |archive.ph |archive.fo |archive.li |archive.md |archive.vn = 
          {{#if:  || }}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Im Parameter 'archiv-url' wurde URL von archive.today erkannt, bitte Parameter 'archive-today' benutzen.|1}}
      }}{{#if: 
         | {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}
             | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Wert des Parameter 'archiv-datum' ist ungültig oder hat ein ungültiges Format.|1}}
          |  }} 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Pflichtparameter 'archiv-datum' wurde nicht angegeben.|1}}
      }}
    | {{#if: 
         | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Der Parameter 'archiv-datum' ist nur in Verbindung mit 'archiv-url' angebbar.|1}}
      }}
  }}{{#if:{{#invoke:URLutil|isHostPathResource|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm}}
    || {{#if:  || }}
  }}{{#if: Ljapunow-Diagramme im Design
    | {{#if: {{#invoke:WLink|isBracketedLink|Ljapunow-Diagramme im Design}}
        | {{#if:  || }}
      }}
    | {{#if:  || }}Vorlage:Webarchiv/Wartung/Linktext_fehlt
  }}{{#switch: 
    |addlarchives|addlpages= {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/Parameter}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: enWP-Wert im Parameter 'format'.|1}}
  }}{{#ifeq: {{#invoke:Str|find|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm%7Carchiv}} |-1
    || {{#ifeq: {{#invoke:Str|find|{{#invoke:Str|cropleft|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm%7C4}}%7Chttp}} |-1
         || {{#switch: {{#invoke:Webarchiv|getdomain|http://www.hbk-bs.de/designinformatik/ljapunow.htm }}
              | abendblatt.de | daserste.ndr.de | inarchive.com | webcitation.org = 
              | #default = {{#if:  || }}{{#if: 1 |Vorlage:Webarchiv/Wartung/URL}}{{#invoke:TemplUtl|failure| Fehler bei Vorlage:Webarchiv: Archiv-URL im Parameter 'url' anstatt URL der Originalquelle. Entferne den vor der Original-URL stehenden Mementobestandteil und setze den Archivierungszeitstempel in den Parameter 'wayback', 'webciteID', 'archive.today' oder 'archive-is' ein, sofern nicht bereits befüllt.|1}}
            }} 
       }}
  }}
Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Ljapunow-Diagramm&oldid=1306781“