Liste stochastischer Prozesse

Nachfolgend finden sich eine Übersicht und kategoriale Einordnung stochastischer Prozesse sowie die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der Prozesse und deren Lösungen.

Markow-Prozesse

Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

Affine Prozesse

Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

Lévy-Prozesse

Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess <math>\Gamma(t;\gamma,\lambda)</math> ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß <math>\nu(x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x)</math>

Varianz-Gamma-Prozess

<math>X(t;\theta,\sigma,\nu) = B(\Gamma(t;1,\nu),\theta,\sigma),\qquad t \ge 0.</math>

Poisson-Prozesse

Zusammengesetzter Poisson-Prozess

Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig <math>\lambda(t).</math>

Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vektor-)raumabhängig <math>\lambda(t, x).</math>

Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

Itō-Prozesse

Itō-Prozess

SDGL:

<math>\mathrm dX_t=u(t,X_t) dt + v(t,X_t) dW_t.</math>

Verallgemeinerter Wiener-Prozess / verallgemeinerte Brownsche Bewegung

Der verallgemeinerte Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.

<math>X_t= \int_0^t f(s) \mathrm ds+ \int_0^t g(s) \mathrm dW_s</math>

SDGL:

<math>\mathrm dX_t= f(t) \mathrm dt+ g(t) \mathrm dW_t</math>

Einfache Form:

<math>X_t= \mu t +\sigma W_t</math>

SDGL:

<math>\mathrm dX_t= \mu \mathrm dt +\sigma \mathrm dW_t</math>

Standard-Wiener-Prozess / Standard-Brownsche Bewegung

SDGL:

<math>\mathrm dX_t= \mathrm dW_t</math>

Weitere Itō-Prozesse

Geometrische Brownsche Bewegung

<math>X_t = X_0 e^{(\mu - \frac{\sigma^2}{2}) t + \sigma W_t}</math>

SDGL:

<math>\mathrm dX_t = \mu X_t \mathrm dt + \sigma X_t \mathrm dW_t</math>

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:

<math>dX_t=\theta(\mu-X_t)dt + \sigma dW_t,\;\;X_0=a</math>

Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:

<math>dX_t = \kappa (\theta-X_t)dt + \sigma \sqrt{X_t}dW_t</math>

Bessel-Prozess

SDGL:

<math>\mathrm dX_t = \mathrm dW_t + \frac{n-1}{2}\frac{\mathrm dt}{X_t}</math>

Gauß-Prozesse

<math>(X_t)_{t \in T}</math> ist ein Gauß-Prozess, falls für alle <math>n \in \N</math> gilt: <math>\forall t_1, t_2 \ldots t_n \in T</math> ist <math>(X_{t_1}, X_{t_2} \ldots X_{t_n})</math> durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben.

Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō-Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

Gauß-Markow-Prozesse

Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft als auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.

Feller-Prozesse

Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion, die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.