Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjunktion ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zwei Funktoren <math>F:\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}</math> und <math>G:\mathcal{D}\rightarrow \mathcal{C}</math> zwischen Kategorien <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{D}</math> heißen adjungiert, wenn sie eine gewisse Beziehung zwischen Morphismenmengen vermitteln. Dieser Begriff wurde von D. M. Kan eingeführt.<ref>D. M. Kan: Adjoint Functors. In: Transaction American Mathematical Society, 1958, Band 87, S. 294–329</ref>

Definition

Zwei Funktoren <math>F\colon\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{D}</math> und <math>G \colon \mathcal{D}\rightarrow \mathcal{C}</math> zwischen Kategorien <math>\mathcal{C}</math> und <math>\mathcal{D}</math> bilden ein adjungiertes Funktorpaar, wenn die Funktoren

<math>(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(X,FY)</math>

und

Datei:AdjunktionImDiagramm.png

In diesem Diagramm ist <math>G</math> linksadjungiert zu <math>F</math>.

<math>(X,Y)\mapsto\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(GX,Y)</math>

von <math>{\mathcal{D}}^{\operatorname{op}}\times {\mathcal{C}}</math> in die Kategorie der Mengen Set natürlich äquivalent sind. (Zusammen mit den beiden Kategorien und den beiden Funktoren bildet die natürliche Äquivalenz eine Adjunktion.)

<math>F</math> heißt rechtsadjungiert zu <math>G</math>, <math>G</math> heißt linksadjungiert zu <math>F</math>.<ref>P. J. Hilton, U. Stammbach: A Course in Homological Algebra. Springer-Verlag, 1970, ISBN 0-387-90032-2, Kapitel II, Absatz 7: Adjoint Functors</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Man schreibt dies kurz als <math>G \dashv F</math> oder <math>F \vdash G</math>, das Turnstile-Symbol zeigt auf den linksadjungierten Funktor. In Diagrammen wird dieses Symbol ebenfalls zur Kennzeichnung einer Adjunktionsbeziehung verwendet.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist <math>t</math> die natürliche Äquivalenz <math>\operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\cdot_1,F(\cdot_2))\to \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}}(G(\cdot_1),\cdot_2)</math>, so heißen die natürlichen Transformationen

<math>\eta \colon \operatorname{id}_{\mathcal D}\to FG</math>

<math>X\mapsto t_{(X,GX)}^{-1}(\operatorname{id}_{GX})</math>

und

<math>\varepsilon \colon GF\to\operatorname{id}_{\mathcal C}</math>

<math>Y\mapsto t_{(FY,Y)}(\operatorname{id}_{FY})</math>

Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen

<math>G\rightarrow GFG \rightarrow G</math> und <math>F\rightarrow FGF \rightarrow F</math>

jeweils die Identität ergeben. Genauer sollen folgende Diagramme kommutativ sein:

Datei:Dreiecksgleichungen.png

Dabei sind <math>1_G</math> und <math>1_F</math> die identischen Transformationen und die natürlichen Transformationen <math>G\eta, \varepsilon G, \eta F, F \varepsilon</math> sind definiert durch <math>(G\eta)_X := G(\eta_X), (\varepsilon G)_X := \varepsilon_{G(X)}, (\eta F)_Y := \eta_{F(Y)}, (F \varepsilon)_Y := F(\varepsilon_Y)</math> für Objekte <math>X</math> aus <math>\mathcal D</math> und <math>Y</math> aus <math>\mathcal C</math>. Wegen der Form dieser kommutativen Diagramme nennt man die Beziehungen <math>1_G = \varepsilon G\circ G\eta</math> und <math>1_F = F \varepsilon\circ \eta F</math> auch die Dreiecksgleichungen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen, die diese Dreiecksgleichungen erfüllen, eine Adjunktion bestimmen, deren Einheit und Koeinheit sie sind.

Eigenschaften

Sind <math>F</math> und <math>G</math> quasi-invers zueinander, so ist <math>F</math> rechts- und linksadjungiert zu <math>G</math>.
Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).
Ist <math>F</math> rechtsadjungiert zu <math>G</math>, <math>\eta\colon \mathrm{id}_{\mathcal D}\to FG</math> die Einheit, und <math>\varepsilon\colon GF\to\mathrm{id}_{\mathcal C}</math> die Koeinheit der Adjunktion, so ist <math>(FG, \eta, \mu)</math> mit <math>\mu_X := F(\varepsilon_{GX})</math> eine Monade in <math>\mathcal D</math>.

Beispiele

Der Funktor <math>F\colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Vec}_K</math>, der eine Menge <math>I</math> auf <math>F(I)</math>, den freien <math>K</math>-Vektorraum über <math>I</math>, dessen Elemente formale <math>K</math>-Linearkombinationen sind, abbildet, ist linksadjungiert zum Vergissfunktor <math>U\colon \mathbf{Vec}_K \to \mathbf{Set}</math>, der Vektorräumen ihre zugrundeliegende Menge zuordnet. Die <math>I</math>-Komponente der Einheit dieser Adjunktion, <math>\eta_I\colon I \to U(F(I))</math>, ist gerade die Familie der kanonischen Basisvektoren von <math>F(I)</math>. Die <math>V</math>-Komponente der Koeinheit, <math>\varepsilon_V\colon F(U(V)) \to V</math>, ist die lineare Abbildung, die formale <math>K</math>-Linearkombinationen von Elementen von <math>V</math> mit den konkreten Operationen von <math>V</math> auswertet.
Der Funktor „freie abelsche Gruppe über einer Menge“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
Der Funktor „statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
Der Funktor „statte eine Menge mit der trivialen Topologie aus“ ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
Der Funktor „disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
Der Funktor „Stone-Čech-Kompaktifizierung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer Räume.
Der Funktor „Vervollständigung“ ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen Räume.
Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten topologischen Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.
In einer kartesisch abgeschlossenen Kategorie <math>\mathcal C</math> ist für jedes Objekt <math>S</math> der Funktor <math>(-)\times S \colon \mathcal C \to \mathcal C</math> linksadjungiert zum Funktor <math>(-)^S\colon \mathcal C \to \mathcal C</math>. Die sich durch diese Funktoren ergebende Monade, bei der die Objektabbildung <math>A\mapsto (A\times S)^S</math> ist, ist gerade die Zustandsmonade mit Zustandsobjekt <math>S</math>.
Fasst man Funktionen als spezielle Relationen auf, so ergibt sich ein Vergissfunktor <math>G \colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Rel}</math>, mit <math>G(X) = X</math> für Mengen <math>X</math> und <math>G(f) = \{(x,f(x)) \mid x \in X\} \subseteq X\times Y</math> für Funktionen <math>f \colon X \to Y</math>. Der zu <math>G</math> rechtsadjungierte Funktor <math>F \colon \mathbf{Rel} \to \mathbf{Set}</math> ordnet Mengen ihre Potenzmenge und Relationen <math>r\subseteq X\times Y</math> die Funktion <math>M \mapsto \{y \mid (x,y)\in r, x\in M\}</math> zu. Die <math>X</math>-Komponente der Einheit der Adjunktion, <math>\eta_X \colon X \to \mathcal{P} X</math>, ist <math>x\mapsto\{x\}</math>. Die <math>Y</math>-Komponente der Koeinheit der Adjunktion, <math>\varepsilon_Y \subseteq \mathcal{P} Y \times Y</math>, ist gerade die auf <math>\mathcal{P} Y</math> beschränkte Elementrelation.

Literatur

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Einzelnachweise