Limesmenge
{{#if: behandelt Limesmengen diskreter oder kontinuierlicher dynamischer Systeme, zu den verwandten Begriffe der Limesmengen Kleinscher Gruppen oder allgemeiner Konvergenzgruppen siehe Kleinsche Gruppe#Limesmenge bzw. Konvergenzgruppe #Limesmenge.
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In der Theorie dynamischer Systeme bezeichnet man als Limesmengen (oder Grenzwertmenge) diejenigen Punkte des Zustandsraums, denen sich Orbits (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.
Definition
Sei <math>(T,X,\Phi)</math> ein dynamisches System mit <math>T = \mathbb Z</math> (diskret) oder <math>T = \mathbb R</math> (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei <math>x\in X</math> ein Punkt des Zustandsraumes.
Die <math>\omega</math>-Limesmenge von <math>x</math> ist
- <math>\omega(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow \infty, \Phi(t_n,x) \rightarrow y\right\}</math>.
Die <math>\alpha</math>-Limesmenge von <math>x</math> ist
- <math>\alpha(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow -\infty, \Phi(t_n,x)\rightarrow y\right\}</math>.
Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:
- <math> \omega(x,\Phi) = \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t>n\right\}}</math>,
- <math> \alpha(x,\Phi) = \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t<n\right\}}</math>.
Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter <math>\Phi</math>. Falls <math>X</math> kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.
Typen
Literatur
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