Leray-Schauder-Alternative

Die Leray-Schauder-Alternative ist eine mathematische Aussage aus dem Bereich der nichtlinearen Funktionalanalysis.

Sie wurde von den Mathematikern Jean Leray und Juliusz Schauder bewiesen und nach ihnen benannt. Die Leray-Schauder-Alternative gibt eine hinreichende Bedingung für die Existenz eines Fixpunktes. Die zentrale Bedingung der Aussage trägt einen eigenständigen Namen und wird Leray-Schauder-Randbedingung genannt. Der Satz hat zahlreiche Korollare, die schon vor Entdeckung der Leray-Schauder-Alternative bekannt waren und eigenständige Bedeutung haben.

Leray-Schauder-Randbedingung

Sei <math>X</math> ein normierter Raum. Die stetige Abbildung <math>f \colon X \to X</math> erfüllt die Leray-Schauder-Randbedingung, falls ein <math>r > 0</math> existiert, so dass aus <math>\|x\| = r</math> die Ungleichheit <math>f(x) \neq \lambda x</math> für alle <math>\lambda > 1</math> folgt.

Leray-Schauder-Alternative

Sei <math>X</math> ein normierter Raum und <math>f \colon X \to X</math> eine kompakte Abbildung, die der Leray-Schauder-Randbedingung genügt, dann hat <math>f</math> mindestens einen Fixpunkt.

Die Aussage trägt die Bezeichnung Alternative, weil entweder die Gleichung <math>f(x) = \lambda x</math> für ein <math>\lambda > 1</math> oder die Gleichung <math>f(x) = x</math> eine Lösung hat. Jedoch bietet der Satz keine notwendigen Bedingungen, daher können für bestimmte <math>f</math> auch beide Gleichungen erfüllt sein. Das zentrale Hilfsmittel für den Beweis des Satzes ist der Leray-Schauder-Abbildungsgrad.

Spezialfälle

In diesem Abschnitt werden hinreichende Bedingungen für Fixpunkte aufgeführt, die von Altman, Krasnoselskii und anderen bewiesen wurden und als Spezialfälle der Leray-Schauder-Alternative verstanden werden können. Im Folgenden sei <math>X</math> normierter Raum, <math>f \colon X \to X</math> eine stetige Funktion und <math>B_r = \{x : \|x\| < r\} \subset X</math> eine Kugel mit Radius <math>r</math>.

Satz von Altman

Sei <math>x \in \partial B_r</math> und gelte

dann hat <math>f</math> mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1957 von Altman bewiesen.

Satz von Petryshyn

Sei <math>x \in \partial B_r</math> und gelte

dann hat <math>f</math> mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1963 von Volodymyr Petryshyn bewiesen.

Satz von Krasnoselskii

Sei <math>X</math> ein Prähilbertraum, <math>x \in \partial B_r</math> und gelte

<math>\langle f(x), x \rangle \leq \|x\|^2,</math>

dann hat <math>f</math> mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde von Mark Krasnosel'skii im Jahr 1953 gezeigt. Sie kann als Spezialfall der Aussage von Altman für Prähilberträume verstanden werden.

Satz von Rothe

Sei <math>x \in \partial B_r</math> und gelte

dann hat <math>f</math> mindestens einen Fixpunkt.

Diese Aussage wurde 1937 von Rothe bewiesen.

Quellen

Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 204.
Robert F. Brown: A topological introduction to nonlinear analysis. Birkhäuser 2004, ISBN 0817632581, Seite 27.
Vasile I. Istratescu: Fixed Point Theory an Introduction. Springer Science & Business 2001, ISBN 9027712247, Seite 166.