Lemma von Jones

Das Lemma von Jones ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welches auf den US-amerikanischen Mathematiker F. Burton Jones (1910–1999) zurückgeht.<ref>Jones: Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem. In: Bing, Bean (Hrsg.): Topology Seminar Wisconsin, 1965. 1966, S. 115–119, hier S. 117.</ref><ref>Dugundji: Topology. 1973, S. 144.</ref><ref>Willard: General Topology. 1970, S. 100.</ref> Es liefert ein Kriterium, mit dem sich zeigen lässt, dass ein topologischer Raum kein normaler Raum ist. Die Frage der Normalität eines topologischen Raumes ist wegen des Zusammenhangs mit dem Metrisationsproblem<ref>Dugundji: Topology. 1973, S. 193.</ref><ref>Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 127 ff.</ref><ref>Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 244 ff.</ref><ref>Schubert: Topologie. 1975, S. 95 ff.</ref><ref>Willard: General Topology. 1970, S. 161.</ref> bedeutsam, denn ein metrischer Raum ist stets normal.<ref>Schubert: Topologie. 1975, S. 78.</ref>

Formulierung des Resultats

Gegeben seien ein topologischer Raum <math>X</math> und darin eingelagert zwei Unterräume <math>D_0 \subseteq X</math> und <math>D_1 \subseteq X</math>, für welche die folgenden Nebenbedingungen erfüllt seien:

<math>D_0</math> sei ein abgeschlossener Unterraum von <math>X</math> und bzgl. der Unterraumtopologie diskret.
<math>D_1</math> liege dicht in <math> X </math>.
Es sei <math> |D_0| \geq 2^{|D_1|}</math> .

Dann ist <math>X</math> nicht normal.

Beispiel: Der Niemytzki-Raum

Der Niemytzki-Raum <math> \Gamma </math>, also die abgeschlossene obere Halbebene <math>\overline{\mathbb{H}} \subset {\mathbb{R} \times \mathbb{R}}</math>, versehen mit der Niemytzki-Topologie, erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas von Jones mit <math>D_0 = \mathbb{R} \times \{ 0 \} </math> und <math>D_1 = ({\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}}) \cap \overline{\mathbb{H}} </math>.<ref>Naber: Set-theoretic Topology. 1977, S. 109–110.</ref><ref>Nagata: Modern General Topology. 1985, S. 83–84.</ref>

Literatur

Artikel

F. Burton Jones: Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem. In: R. H. Bing, Ralph J. Bean (Hrsg.): Topology Seminar Wisconsin, 1965 (= Annals of Mathematics Studies. Bd. 60, ISSN 0066-2313). Princeton University Press, Princeton NJ 1966, S. 115–119.

Monographien

James Dugundji: Topology. 8th printing. Allyn and Bacon, Boston MA 1973.
Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
Gregory Naber: Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero Dimensionality and Cardinal Invariants. University Microfilms International, Ann Arbor MI 1977, ISBN 0-8357-0257-X.
Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Band 33). 2. überarbeitete Auflage. North-Holland Publishing, Amsterdam / New York / Oxford 1985, ISBN 0-444-87655-3 (MR0831659).
Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1970.

Einzelnachweise