Lemma von Bramble-Hilbert

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion <math>u</math> durch ein Polynom der maximalen Ordnung <math>m-1</math> mit Hilfe der Ableitungen <math>m</math>-ter Ordnung von <math>u</math> ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von <math>u</math> werden durch <math>L^p</math>-Normen auf einem beschränkten Gebiet im <math>\mathbb{R}^n</math> gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von <math>u</math> bei linearer Interpolation von <math>u</math>. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von <math>u</math> können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten <math>L^p</math>-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und <math>C^1</math>-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur <math>m</math>-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens <math>m-1</math> erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei <math>\textstyle \Omega</math> ein beschränktes Gebiet im <math>\textstyle \mathbb{R}^{n}</math> mit Lipschitz-Rand und Durchmesser <math>\textstyle d</math>. Weiter sei <math>m \in \mathbb{N}</math> beliebig und <math>k \in \{0, \ldots, m\}</math>.

Auf dem Sobolev-Raum <math>W_p^k(\Omega)</math>, verwendet man die Halbnorm

<math> |u|_{W_p^k(\Omega)} : = \left(\sum \limits_{|\alpha| = k} \|D^{\alpha}u \|_{L^p(\Omega)}^{p} \right)^{\frac{1}{p}}.</math>

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem <math>u \in W_p^m(\Omega)</math> ein Polynom <math>v</math> existiert, dessen Grad höchstens <math>m-1</math> beträgt, so dass die Ungleichung

<math>|u-v|_{W_p^k(\Omega)} \leq C d^{m-k}|u|_{W_p^m(\Omega)}</math>

mit einer Konstanten <math>C = C(m, \Omega)</math> erfüllt ist.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).