Lah-Zahl

Die Lah-Zahlen sind in der Mathematik die Koeffizienten zur gegenseitigen Darstellung von steigenden und fallenden Faktoriellen.

Sie wurden erstmals 1955 von Ivo Lah beschrieben. Es gilt:

<math> x^{\overline{n}} = \sum_{k=0}^n L_{n,k} x^{\underline{k}} </math>

Die vorzeichenlosen Lah-Zahlen sind wie folgt definiert:

<math> L_{n,k} = { n-1 \choose k-1 } \frac{n!}{k!} </math><ref name="mathworld">Eric W. Weisstein: Lah Numbers auf MathWorld</ref>

Die vorzeichenbehafteten Lah-Zahlen sind definiert durch

<math> L_{n,k} = (-1)^n {n-1 \choose k-1} \frac{n!}{k!} </math>

Für die Inversionsformel der steigenden und fallenden Faktoriellen benutzt man die vorzeichenlosen Lah-Zahlen.

Diese haben in der Kombinatorik eine interessante Eigenschaft: Sie beschreiben die Anzahl der linear geordneten <math>k</math>-Partitionen einer <math>n</math>-elementigen Menge.

Außerdem gilt:

<math>L(n,k)=B_{n,k}(1!,2!,3!,4!,\ldots )</math><ref name="mathworld"/>

wobei <math>B_{n,k}</math> für die Bell-Polynome steht.

Werte

<math>_n\!\!\diagdown\!\!^k</math>	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1

(Folge A008297 in OEIS)

Neuere praktische Anwendung

Einzelnachweise