Krylow-Zerlegung

Vorlage:Hinweisbaustein In der numerischen Mathematik ist eine Krylow-Zerlegung (nach Alexei Nikolajewitsch Krylow) eine Matrixgleichung der folgenden Gestalt:

<math>AQ_k=Q_{k+1}\underline{C}_k=Q_kC_k+q_{k+1}c_{k+1,k}e_k^T,</math>

wobei <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> eine quadratische Matrix ist, <math>Q_{k+1}=\left(Q_k,q_{k+1}\right)\in\mathbb{C}^{n\times (k+1)}</math> als Spalten die Basisvektoren eines Krylowraumes enthält und <math>C_k\in\mathbb{C}^{k\times k}</math> eine (im Allgemeinen unreduzierte) Hessenbergmatrix ist. Ferner bezeichnet <math>e_k\in\mathbb{C}^k</math> den k-ten kanonischen Einheitsvektor und <math>\underline{C}_k\in\mathbb{C}^{(k+1)\times k}</math> ist eine um eine unten angefügte Zeile erweiterte Hessenbergmatrix, wobei nur das letzte Element dieser Zeile ungleich Null ist.

Diese Krylow-Zerlegungen treten in natürlicher Weise bei der algorithmischen Beschreibung von Krylow-Unterraum-Verfahren auf. Der Begriff wurde von Pete Stewart geprägt.