Kriterium von Kummer

Das Kriterium von Kummer (nach dem deutschen Mathematiker Ernst Eduard Kummer) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe (absolut) konvergiert.

Das Kummer-Kriterium beinhaltet zwei Aussagen, über Konvergenz und über Divergenz.

Formulierung

Sei <math>(c_k)_{k\in\N}</math> eine positive reelle Zahlenfolge. Mit dieser wird die Reihe <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math> gebildet. Diese Reihe soll auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden.

Konvergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge <math>(\alpha_k)</math>, so dass ab einem bestimmten Index <math>\mu</math> der Ausdruck

<math>\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>

stets größer oder gleich einer positiven Konstante <math>\theta>0</math> ist, dann konvergiert die Reihe <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.<ref name=Smirnow309310>Wladimir Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik, Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2, S. 309–310.</ref>

Divergenzaussage

Gibt es eine positive reelle Zahlenfolge <math>(\alpha_k)</math>, so dass

die Reihe der reziproken Glieder <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\alpha_k}</math> divergiert und
ab einem bestimmten Index <math>\mu</math> der Ausdruck

<math>\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>

stets kleiner gleich Null ist,

dann divergiert die Reihe <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.<ref name=Smirnow309310 />

Beweise

Beweis der Konvergenzaussage

Es gelte für alle Indizes <math>k>\mu</math> die Abschätzung

<math>0<\theta\le \alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k</math>.

Nach dem Durchmultiplizieren mit <math>c_k\,</math> ergibt sich daraus

<math>\theta c_k\le \alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k</math>.

Diese Ungleichung lässt sich nun von <math>k=\mu+1\,</math> bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl <math>n>\mu\,</math> nach Art einer Teleskopsumme aufsummieren.

<math>

\theta \sum_{k=\mu+1}^n c_k \le \sum_{k=\mu+1}^n (\alpha_{k-1}c_{k-1}-\alpha_k c_k) = \alpha_\mu\, c_\mu-\alpha_n c_n </math>

Der letzte Ausdruck ist immer kleiner als <math>\alpha_\mu\, c_\mu</math>, diese Schranke hängt nicht von <math>n\,</math> ab. Also gilt für alle <math>n>\mu\,</math>

<math>\sum_{k=\mu+1}^n c_k\le \frac{\alpha_\mu\, c_\mu}{\theta}</math>

Daher wächst die Folge der Partialsummen <math>S_n=\sum_{k=1}^nc_k</math> ab dem Index <math>\mu\,</math> monoton und ist nach oben beschränkt. Nach dem (Trivial-)Kriterium der monotonen Konvergenz konvergiert somit <math>S=\sum_{k=1}^\infty c_k</math>.

Beweis der Divergenzaussage

Es gelte für alle Indizes <math>k>\mu</math> die Abschätzung

<math>

\alpha_{k-1}\,\frac{c_{k-1}}{c_k}-\alpha_k\le 0 </math> und damit auch <math> \alpha_kc_k\ge\alpha_{k-1}c_{k-1} </math>.

Durch induktive Verkettung dieser Ungleichungen von <math>k=\mu+1\,</math> bis zu einem beliebig großen Index <math>m>\mu</math> ergibt sich

<math>\alpha_m c_m\ge\alpha_\mu c_\mu</math>,

nach weiterem Umstellen

<math>c_m\ge \frac{\alpha_\mu}{\alpha_m}c_\mu</math>.

Wird diese Ungleichung von <math>m=\mu+1</math> bis zu einem beliebig großen Index <math>n</math> aufsummiert, so folgt

<math>\sum_{m=\mu+1}^n c_m \ge \alpha_\mu c_\mu \sum_{m=\mu+1}^n \frac{1}{\alpha_m}</math>

Letzte Reihe divergiert nach Voraussetzung für <math>n\to\infty</math>. Also divergiert auch <math>S=\sum_{m=1}^\infty c_m</math> nach dem Minorantenkriterium.

Einzelnachweise