Kriterium von Abel
Das Kriterium von Abel ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für eine unendliche Reihe. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien und wurde nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) benannt.
Abelsches Kriterium für Konvergenz
Die Reihe <math>\textstyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k</math> mit <math>a_k , b_k \in \mathbb{R} </math> konvergiert, wenn <math>(a_k)</math> von endlicher Variation und die Reihe <math>\textstyle \sum_{k=1}^{\infty} b_k</math> konvergent ist.
Im Reellen genügt die Forderung, dass <math>a_k</math> monoton ist und <math>\textstyle \lim_{k \to \infty} a_k \neq \pm\infty</math> gilt anstelle der endlichen Variation von <math>a_k</math>.
Abelsches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz
Seien
- <math>A=(a_n \colon D\to \mathbb{R})_{n=1,2,\ldots}</math>
und
- <math>B=(b_n \colon D\to \mathbb{R})_{n=1,2,\ldots}</math>
auf dem Gebiet <math>D</math> definierte Funktionenfolgen. <math>A</math> sei gleichmäßig beschränkt, die Folgen <math>(a_n(x))_{n=1,2,\ldots}</math> für jedes <math>x\in D</math> monoton und die Reihe
- <math>\sum_{n=1}^\infty b_n(x)</math>
gleichmäßig konvergent, dann ist auch die Reihe
- <math>\sum_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)</math>
gleichmäßig konvergent.<ref name="Ficht">Fichtenholz G., Differential- und Integralrechnung, ISBN 978-3-8171-1279-1, Band 2, XII., §1.</ref>
Anwendung in der Praxis
In der Praxis versucht man mit Hilfe des Abel-Kriteriums die einzelnen Summanden einer unendlichen Reihe so zu faktorisieren, dass aus einem der Faktoren eine bekannte konvergente Reihe und aus den anderen eine monoton fallende Folge von positiven Zahlen entsteht.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />