Kontraposition

Unter Kontraposition (von {{#invoke:Vorlage:lang|full|CODE=la |SCRIPTING=Latn |SERVICE=lateinisch}} ‚gegen‘ und lat. {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“.

Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“.

Nicht aus „Aus A folgt B“ ergibt sich dagegen der Schluss „Aus B folgt A“ oder „Aus nicht A folgt nicht B“.

Notation in der Mathematik

Sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei Aussagen, dann sind die Folgerungen (Subjunktionen) <math>A \rightarrow B</math> und <math>\neg B \rightarrow \neg A</math> äquivalente Aussagen:

<math>(A \rightarrow B) \Longleftrightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)</math>

Dabei bezeichnet <math>\neg A</math> die Negation einer Aussage <math>A</math>. In der Mathematik verwendet man für Implikationen die Notation <math>\Rightarrow</math>, die die Allgemeingültigkeit der Folgerung anzeigt.

Für <math>x,y \in \mathbb{R}</math> ist die Subjunktion <math>(x < y) \rightarrow (x^2 < y^2)</math> äquivalent („<math>\Longleftrightarrow</math>“) zur Kontraposition <math>(x^2 \geq y^2)\rightarrow (x \geq y)</math>. Die Subjunktion <math>(x < y) \rightarrow (x^2 < y^2)</math> selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage, denn es gilt zwar <math>-4 < 3</math>, aber wegen der Ungleichung <math>16=(-4)^2 \geq 3^2 = 9</math> gilt nicht <math>(-4)^2 < 3^2</math>. Die Äquivalenz („<math>\Longleftrightarrow</math>“) ist dagegen tautologisch (allgemeingültig), da die linke Aussage genau dann wahr ist, wenn auch die Kontraposition (rechte Aussage) wahr ist.

Wahrheitstafeln

Die Äquivalenz der Aussagen kann man über Wahrheitstabellen überprüfen:

Wahrheitstabelle für <math>A \rightarrow B</math>
<math>A</math>	<math>B</math>	<math>A \rightarrow B</math>
wahr	wahr	wahr
wahr	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	wahr

Wahrheitstabelle für <math>\neg B \rightarrow \neg A</math>
<math>A</math>	<math>B</math>	<math>\neg B</math>	<math>\neg A</math>	<math>\neg B \rightarrow \neg A</math>
wahr	wahr	falsch	falsch	wahr
wahr	falsch	wahr	falsch	falsch
falsch	wahr	falsch	wahr	wahr
falsch	falsch	wahr	wahr	wahr

Äquivalenz zu einer ODER-Aussage

Sowohl <math>A \rightarrow B</math> als auch <math>\neg B \rightarrow \neg A</math> sind ferner äquivalent zu <math>\neg A \vee B</math>. „<math>\vee </math>“ ist dabei die Notation für ein „ODER“ (Disjunktion) – siehe auch folgende Wahrheitstabelle im Vergleich zu den Wahrheitstabellen für Subjunktion und Kontraposition.

Wahrheitstabelle für <math>\neg A \vee B</math>
<math>A</math>	<math>B</math>	<math>\neg A</math>	<math>\neg A \vee B </math>
wahr	wahr	falsch	wahr
wahr	falsch	falsch	falsch
falsch	wahr	wahr	wahr
falsch	falsch	wahr	wahr

Beispiele

Alltagsbeispiel

„Wenn es regnet, dann ist der Fußgängerweg nass.“ Diese Aussage („Aus A folgt B“) ist äquivalent zu ihrer Kontraposition („Aus nicht B folgt nicht A“): „Wenn der Fußgängerweg nicht nass ist, dann regnet es nicht.“

„Aus B folgt A“ gilt allerdings nicht: „Wenn der Fußgängerweg nass ist“, muss es nicht zwangsläufig regnen. Es kann (immer noch) regnen; es kann schon wieder regnen; es regnet nicht; oder der Fußgängerweg ist aus anderen Gründen nass (Straßenreinigung, spielende Kinder).

Mathematisches Beispiel

Aussage:

<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a^2 \equiv 1 \bmod 3\right)</math>

Es gilt die Kontraposition:

<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a^2 \not\equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a \not\equiv 1 \bmod 3\right)</math>

Falsch wäre jedoch:

<math>\forall a \in \Z \colon \quad \left(a^2 \equiv 1 \bmod 3 \Rightarrow a \equiv 1 \bmod 3\right)</math>

Denn <math>a^2 \equiv 1 \bmod 3</math> ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für <math>a \equiv 1 \bmod 3</math>:
Wenn <math>a^2 \equiv 1 \bmod 3</math> gilt, kann neben <math>a \equiv 1 \bmod 3</math> auch <math>a \equiv 2 \bmod 3</math> gelten.

Siehe auch

Umkehrschluss, die Kontraposition als juristische Auslegungsmethode
Negation
Disjunktion

Weblinks

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