Konjugiertes Element

{{#if: beschreibt algebraisch konjugierte Elemente in der Körpertheorie. Zu konjugierten Elementen in der Gruppentheorie siehe Konjugation (Gruppentheorie).

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Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Seien <math>L/K</math> eine Körpererweiterung und <math>K[x]</math> der Polynomring zu <math>K</math> mit der Unbestimmten <math>x</math>. Die Elemente <math>a, b \in L</math> seien algebraisch über <math>K</math>, das heißt, es existieren <math>0\neq q(x), p(x)\in K[x]</math> mit <math>p(a)=q(b)=0</math>.

Dann heißen <math>a</math> und <math>b</math> algebraisch konjugiert über <math>K</math>, wenn <math>a</math> und <math>b</math> dasselbe Minimalpolynom über <math>K</math> haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

<math>a</math> und <math>b</math> sind genau dann konjugiert über dem Körper <math>K</math>, wenn für alle <math>p(x)\in K[x]</math> gilt, dass <math>p(a)=0\Leftrightarrow p(b)=0</math>.
Sei <math>L/K</math> eine endliche Körpererweiterung mit <math>L=K(b)</math> für ein <math>b\in L\setminus K</math>. Dann sind <math>a, b\in L</math> genau dann konjugiert über dem Körper <math>K</math>, wenn es ein Element <math>\varphi</math> in der Galoisgruppe <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> gibt mit <math>\varphi(a)=b</math>.

Beispiele

Die komplexen Zahlen <math>i</math> und <math>-i</math> haben über <math>\R</math> beide das Minimalpolynom <math>\textstyle x^2+1</math> und sind daher algebraisch konjugiert über <math>\R</math>. Über <math>\Complex</math> haben sie natürlich die Minimalpolynome <math>x-i</math> bzw. <math>x+i</math> und sind nicht konjugiert.
Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen <math>a+bi</math> und <math>c+di</math> mit <math>b,d\neq 0</math> sind genau dann algebraisch konjugiert über <math>\R</math>, wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also <math>a=c, b=-d</math> gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall <math>x^2-2ax+a^2+b^2</math>.
Die Goldene Zahl <math>\Phi</math> und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper <math>\mathbb Q</math>. Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms <math>\textstyle x^2 - x -1</math>.
Die zu <math>x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus

ergibt sich das Minimalpolynom

<math>x^4 - 10 x^2 + 1 = \left(x^2 - 5\right)^2 - 24</math>.

Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung <math>5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} \pm \sqrt{3})^2</math>, die weiteren Nullstellen:

<math>x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>,<math>\quad x_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,<math>\quad x_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

Literatur

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