Komplementärbasis

Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen orthogonalen Komplements.

Definition

Es seien <math>V</math> ein Vektorraum über einem Körper <math>K</math>, <math>U</math> ein Untervektorraum von <math>V</math> und <math>W</math> ein durch die Familie bzw. das System <math>(\mathbf{w}_i)_{i=1,\ldots,n}, \mathbf{w}_i \in V</math> von Vektoren erzeugter Unterraum von <math>V</math>. Dann heißt das System <math>(\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n)</math> Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math>, falls diese Vektoren eine Basis des orthogonalen Komplements <math>U^\perp:=W</math> bilden.

<math>U^\perp</math> ist also ein komplementärer Unterraum von <math>U</math> und die Vektoren <math>\mathbf{w}_1, \ldots, \mathbf{w}_n</math> bilden dazu eine Basis des orthogonalen Komplements <math>U^\perp</math>.

Alternative Formulierung für endlich-dimensionale Vektorräume

Seien <math>a_1, \ldots, a_n</math> Skalare aus dem Körper <math>K</math>. Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:

Lässt sich ein Element <math>u \in U</math> aus der Linearkombination <math>a_1 \cdot \mathbf{w}_1 + \ ... \ + a_n \cdot \mathbf{w}_n = u</math> darstellen, so muss folgen, dass <math>u = 0</math> und alle Koeffizienten <math>a_i=0</math> (für <math>i=1,...,n</math>) sind.
Die Vektoren <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> erzeugen zusammen mit <math>U</math> den Vektorraum <math>V</math>.

(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> auch linear unabhängig modulo <math>U</math>.)

Eigenschaften

Sei <math>V</math> ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und <math>U</math> ein Untervektorraum.

Es gilt <math>V=U\oplus U^\perp</math>, folglich auch <math>\dim(U^\perp) = \dim V - \dim U</math>.
Sei <math>(u_1,\ldots,u_s)</math> eine Basis von <math>U</math>. Genau dann ist <math>(v_1,\ldots,v_t)</math> eine Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math>, wenn <math>(u_1,\ldots,u_s,v_1,\ldots,v_t)</math> eine Basis von <math>V</math> ist.

Jede Folge, die linear unabhängig modulo <math>U</math> ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von <math>U</math> in <math>V</math> ergänzen.

Quellen

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5. und 7.2