Komonade

Eine Komonade ist in der Kategorientheorie eine Struktur dual zu der der Monade.

Definition

Eine Komonade ist ein Tripel <math>(T, \varepsilon, \psi)</math> bestehend aus

• einem Endofunktor <math>T\colon C\to C</math>,
• einer natürlichen Transformation <math>\varepsilon\colon T\to 1_C</math> und
• einer natürlichen Transformation <math>\psi\colon T\to T^2</math>,

das folgende Bedingungen erfüllt:

• <math>T\psi\circ\psi = \psi T\circ\psi</math> und
• <math>\varepsilon T\circ\psi = T\varepsilon\circ\psi = 1_T</math>.

Explizit auf der Ebene von Morphismen von <math>C</math> bedeutet dies, dass für jedes Objekt <math>X</math> aus <math>C</math> gilt

• <math>T(\psi_X)\circ \psi_X = \psi_{T(X)}\circ\psi_X</math> und
• <math>\varepsilon_{T(X)}\circ\psi_X = T(\varepsilon_X)\circ\psi_X = 1_{T(X)}</math>.

Koalgebren

Eine Koalgebra für eine Komonade <math>(T,\varepsilon,\psi)</math> auf einer Kategorie <math>C</math> ist ein Paar <math>(X,\alpha)</math> bestehend aus einem Objekt <math>X</math> von <math>C</math> und einem Morphismus <math>\alpha\colon X\to TX</math>, so dass <math>T\alpha\circ\alpha=\psi_X\circ\alpha</math> und <math>\varepsilon_X\circ\alpha=1_X</math>. Ein Homomorphismus von Koalgebren <math>(X,\alpha)\to(Y,\beta)</math> ist ein Morphismus <math>f\colon X\to Y</math> in <math>C</math>, der <math>Tf\circ\alpha=\beta\circ f</math> erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie <math>C^T</math>.

Es gibt einen kanonischen Funktor <math>A_T\colon C\to C^T</math>, der auf Objekten <math>X\mapsto(TX,\psi_X)</math> ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor <math>U_T\colon C^T\to C</math>.

Komonade zu einem adjungierten Funktorpaar

Es seien <math>C,D</math> Kategorien und <math>F\colon C\to D</math>, <math>G\colon D\to C</math> Funktoren, so dass <math>F</math> rechtsadjungiert zu <math>G</math> ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien <math>\eta\colon 1\to FG</math> bzw. <math>\varepsilon\colon GF\to 1</math>. Dann ist <math>T=(GF,\varepsilon,G\eta F)</math> eine Komonade auf <math>C</math>.

Man erhält einen induzierten Funktor <math>A\colon D\to C^T</math>, so dass <math>U_T\circ A=G</math> und <math>A\circ F=A_T</math> gilt. Der Funktor <math>G</math> heißt komonadisch, wenn <math>A</math> eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist <math>T</math> eine Komonade auf einer Kategorie <math>C</math>, dann ist die zum adjungierten Funktorpaar <math>(U_T\colon C^T\to C,A_T\colon C\to C^T)</math> assoziierte Komonade wieder <math>T</math>.

Beispiel

In der Kategorie Set sei der Endofunktor <math>T</math> derjenige der Bildung von <math>\N</math>-indizierten Folgen, d. h. für jede Menge <math>X</math> ist <math>T(X)=X^\N</math>, und für Mengen <math>A</math> und <math>B</math> sowie Abbildungen <math>f\colon A\to B </math> ist <math>T(f)\colon A^\N\to B^\N</math> gegeben durch <math>T(f)(s) := f\circ s</math>.

Die natürlichen Transformationen <math>\varepsilon</math> und <math>\psi</math> seien durch die Familien von Abbildungen <math>\varepsilon_X</math> und <math>\psi_X</math>,

• <math>\varepsilon_X\colon X^\N\to X, \varepsilon_X(s) := s(0)</math>
• <math>\psi_X\colon X^\N\to(X^\N)^\N, \psi_X(s)(n)(m) := s(n+m)</math>

für beliebige Mengen <math>X</math> gegeben.

Das Tripel <math>(T, \varepsilon, \psi)</math> ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für <math>(T, \varepsilon, \psi)</math> sind die Abbildungen <math>\alpha\colon X\to X^\N</math>, die <math>\alpha(x)(0)=x</math> und <math>\alpha(x)(n+m)=\alpha(\alpha(x)(n))(m)</math> erfüllen. Mit <math>\alpha_1\colon X\to X</math>, <math>x\mapsto\alpha(x)(1)</math> ist <math>\alpha(x)(n)=\alpha_1^n(x)</math>, und man kann die Koalgebren mit Paaren <math>(X,\alpha_1)</math> mit einer beliebigen Abbildung <math>\alpha_1\colon X\to X</math> identifizieren.

Ist <math>M</math> eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf <math>T(X)=X^M</math> bijektiv den Monoidstrukturen auf <math>M</math>. Die Multiplikation auf <math>M</math> ist <math>\psi_M(1_M)\in(M^M)^M</math>. Für ein Monoid <math>M</math> kann die Strukturabbildung <math>X\to X^M</math> einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz <math>(A^B)^C=A^{B\times C}=(A^C)^B</math> mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

• einer Abbildung <math>X\times M\to X</math>, die eine Algebra für die Monade <math>T^*(X)=X\times M</math> ist
• einem Monoidhomomorphismus <math>M\to X^X</math>, d. h. einer Operation von <math>M</math> auf <math>X</math>.

Literatur

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