Kolm-Index

Der Kolm-Index ist ein Ungleichheitsmaß zur Beschreibung der absoluten Konzentration, das nach dem französischen Ökonomen und Ökonometriker Serge-Christophe Kolm benannt ist.

Definition

Sei <math>N</math> die Anzahl der Einkommen, so dass <math>N = n \cdot m</math> gilt. Hierbei gibt <math>n</math> die Anzahl verschiedener Einkommen an und jedes Einkommen hat <math>m</math> Empfänger (Einkommensbezieher). Die Zahl gleicher Paare mit einem gegebenen Einkommen beträgt:

<math>\frac{m \cdot (m - 1)}{2}</math>

und die Gesamtanzahl gleicher Einkommen wäre:

<math>\frac{n \cdot m \cdot (m - 1)}{2}\, .</math>

Offensichtlich wäre die Gesamtzahl aller Paare:

<math>\frac{N \cdot (N - 1)}{2} - \frac{n \cdot m \cdot (n \cdot m - 1)}{2}\, .</math>

Dabei kann man an einen ‚Gleichheitsindex‘ in der Form des Terms:

<math>\frac{n \cdot m \cdot (m - 1)}{n \cdot m (n \cdot m - 1)} = \frac{m - 1}{N - 1}</math>

denken. Folglich errechnet sich das Ungleichheitsmaß durch Subtraktion von <math>1</math>:

<math>\frac{1 - (m - 1)}{N - 1} - \frac{N - m}{N - 1} = \frac{m \cdot (n - 1)}{n \cdot m - 1} = \frac{n \cdot m - m}{n \cdot m - 1}\, .</math>

Wenn das Einkommen <math>x_1</math> <math>f_i</math> Bezieher hat, lautet der Index wie folgt:

<math>K = 1 - \frac{\sum f_i^2 - N}{N \cdot (N - 1)} = \frac{N^2 - \sum f_i^2}{N \cdot (N - 1)}\, .</math>

Kolm definierte 1976 den Index folgendermaßen:

<math>K = \frac{1}{\kappa} \cdot \ln \left[\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n} e^{\kappa \left(\mu - y_i\right)}\right]\, ;\quad \kappa > 0\, ,</math>

wobei <math>\kappa</math> die Ungleichheitsaversion angibt.

Motivation

Kolms Intention, diesen kuriosen Index zu entwickeln, begründet sich seiner Meinung nach darin, sich eine Vorstellung davon zu bilden, dass viele simple (Rechen-)Wege bestehen, sich einem Ungleichverteilungsmaß zu nähern.

Literatur

• Serge-Christophe Kolm: Unequal inequalities I and II. Journal of Economic Theory 12 u. 13. 1976. S. 416–442 u. 82–111.
• Serge-Christophe Kolm: Intermediate measures of inequality. Technical report, CGPC, 1996.

Weblinks

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).