Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie ist eine Kategorie, die sich auf natürliche Weise aus einer Monade ergibt. Sie ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition

Sei <math>C</math> eine Kategorie und <math>M=(T, \mu, \eta)</math> eine Monade, mit <math>T\colon C\to C</math> als Endofunktor und <math>\mu\colon T^2\to T</math>, <math>\eta\colon 1\to T</math> als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu <math>C</math> und <math>M</math> gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als <math>C_M</math> bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• <math>\operatorname{Ob}(C_M)=\operatorname{Ob}(C)</math>, sowie
• <math>\operatorname{Mor}_{C_M}(X,Y)=\operatorname{Mor}_C(X, T(Y))</math>.

Identitätsmorphismen und Verkettung sind

• <math>\operatorname{id}_A = \eta_A</math> und
• <math>f \circ_{C_M} g = \mu \circ_C T(f) \circ_C g </math>.

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, <math>\mathcal P</math>, mit <math>\mathcal P(f)(A) = \{f(a) | a\in A\}</math>.

Literatur

• {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}