Killing-Form
Die Killing-Form (auch Cartan-Killing-Form) spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie und in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren. Sie ist nach Wilhelm Killing benannt.
Definition
Sei <math>\mathfrak g</math> eine Lie-Algebra über dem Körper <math>k</math> und <math>\operatorname{ad}:\mathfrak g\rightarrow \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> ihre adjungierte Darstellung.
Die Killing-Form ist die durch
- <math>B(X,Y):=\operatorname{Tr}(\operatorname{ad}(X)\circ \operatorname{ad}(Y))</math>
für <math>X,Y\in\mathfrak g</math> definierte symmetrische Bilinearform
- <math>B:\mathfrak g\times\mathfrak g\rightarrow k</math>,
wobei <math>\operatorname{Tr}</math> die Spur bezeichnet.
Eigenschaften
- <math>B</math> ist eine symmetrische Bilinearform.
- <math>B</math> ist assoziativ, das heißt, es gilt <math>B([X,Y],Z)=B(X,[Y,Z])</math> für alle <math>X,Y,Z\in\mathfrak g</math>.
- Für alle <math>Z\in\mathfrak g</math> ist <math>\operatorname{ad}(Z)</math> schiefsymmetrisch bzgl. <math>B</math>, das heißt für alle <math>X,Y\in\mathfrak g</math> gilt
- <math>B(\operatorname{ad}(Z)X,Y)=-B(X,\operatorname{ad}(Z)Y)</math>.
- Die Killing-Form ist nicht-ausgeartet genau dann, wenn die Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> halb-einfach ist.
- Falls <math>\mathfrak g</math> die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe <math>G</math> ist, dann ist <math>B</math> <math>\operatorname{Ad}</math>-invariant, d. h. für alle <math>g\in G,X,Y\in\mathfrak g</math> gilt
- <math>B(\operatorname{Ad}(g)X,\operatorname{Ad}(g)Y)=B(X,Y)</math>.
- Falls <math>\mathfrak g</math> die Lie-Algebra einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist, dann ist die Killing-Form negativ definit genau dann, wenn <math>G</math> kompakt ist. Insbesondere definiert <math>-B</math> eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf einer kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math>. Allgemeiner ist auf der Lie-Algebra einer kompakten (nicht notwendig halbeinfachen) Lie-Gruppe die Killingform stets negativ semidefinit.
Beispiele
Die Killing-Form nilpotenter Lie-Algebren ist identisch Null.
Für viele klassische Lie-Algebren lässt sich die Killing-Form explizit angeben:
| g | <math>B(X,Y)</math> |
|---|---|
| gl(n, R) | <math>2n \operatorname{Tr}(XY)-2 \operatorname{Tr}(X)\operatorname{Tr}(Y)</math> |
| sl(n, R) | <math>2n \operatorname{Tr}(XY)</math> |
| su(n) | <math>2n \operatorname{Tr}(XY)</math> |
| so(n, R) | <math>(n-2) \operatorname{Tr}(XY)</math> |
| so(n) | <math>(n-2) \operatorname{Tr}(XY)</math> |
| sp(n, R) | <math>(2n+2) \operatorname{Tr}(XY)</math> |
| sp(n, C) | <math>(2n+2) \operatorname{Tr}(XY)</math> |
Riemannsche Metrik auf symmetrischen Räumen von nichtkompaktem Typ
Ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ ist eine Mannigfaltigkeit der Form
- <math>M=G/K</math>
mit einer halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math> und einer maximal kompakten Untergruppe <math>K</math>.
Zu einem symmetrischen Raum hat man eine Cartan-Zerlegung
- <math>\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p</math>
und man kann den Tangentialraum <math>T_{\left[e\right]}G/K</math> im neutralen Element mit <math>\mathfrak p</math> identifizieren.
Die Killing-Form ist negativ definit auf <math>\mathfrak k</math> und positiv definit auf <math>\mathfrak p</math>. Insbesondere definiert sie ein <math>\operatorname{Ad}(G)</math>-invariantes Skalarprodukt auf <math>\mathfrak p</math> und damit eine links-invariante Riemannsche Metrik auf <math>M=G/K</math>. Bis auf Multiplikation mit Skalaren ist dies die einzige <math>G</math>-invariante Metrik auf <math>M</math>.
Die Differentialgeometrie symmetrischer Räume beschäftigt sich mit den Eigenschaften dieser Riemannschen Mannigfaltigkeiten.
Klassifikation halbeinfacher Lie-Algebren
Die Killing-Form spielt eine Schlüsselrolle in der Klassifikation der halbeinfachen Lie-Algebren über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik <math>0</math>.
Literatur
- Humphreys, James E.: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972.