Kempner-Reihe

In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe <math>\textstyle H_n=\sum_{k=1}^n \frac1k</math> alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer <math>0</math> in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe <math>K_0</math> als

<math>K_0=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac19+\frac1{11}+\cdots+\frac1{19}+\frac1{21}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{111}+\ldots</math>

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer <math>1</math> im Nenner:

<math>K_1=\frac12+\frac13+\cdots+\frac19+\frac1{20}+\frac1{22}+\cdots+\frac1{30}+\frac1{32}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{200}+\frac1{202}+\cdots</math>

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.<ref>Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, S. 48–50, {{#invoke:URIutil|{{#ifeq:1|1|linkISSN|targetISSN}}|0002-9890|0}}{{#ifeq:1|0|[!] }}{{#ifeq:0|1

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}}.</ref>

Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt. Die Konvergenzeigenschaft wird auch dadurch deutlich, dass bereits ab 7-stelligen Zahlen diese mehrheitlich wegfallen und es bei großen Zahlen nur wenige gibt, die eine bestimmte Ziffer nicht enthalten und so einen Additionsbeitrag leisten können.<ref>Anmerkung: Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Ziffer in einer n-stelligen dezimalen Zifferngruppe: P(n) = 1 - (9/10)^n. Für n=7: P > 50 %.</ref>

Beweis der Konvergenz

Für die Kempner-Reihe <math>K_0</math> sind

im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau <math>9</math> Nenner (alle) zulässig;
im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau <math>9\cdot 9=9^2</math> Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau <math>9\cdot 9\cdot 9=9^3</math> Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

im <math>n</math>-stelligen Nennerbereich <math>10^{n-1}</math> bis <math>10^n-1</math> genau <math>9^n</math>Nenner zulässig.

Die <math>9</math> zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die <math>9^2</math> zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich <math>\tfrac1{10}</math>; die <math>9^3</math> dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich <math>\tfrac1{100}</math>; usw.

Das ergibt die obere Schranke

<math>\begin{matrix} K_0&=&(\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac19)&+&(\frac1{11}+\cdots+\frac1{99})&+&(\frac1{111}+\cdots+\frac1{999})&+&\cdots \\

&<& (\frac11+\frac11+\frac11+\cdots+\frac11)&+& (\frac1{10}+\cdots+\frac1{10})&+& (\frac1{100}+\cdots+\frac1{100})&+&\cdots \\ &=& 9\cdot\frac11 &+& 9^2\cdot\frac1{10}&+&9^3\cdot\frac1{100}&+&\cdots \end{matrix}</math>

<math>= 9\cdot \left(1+\left(\frac9{10}\right)+\left(\frac9{10}\right)^2+\left(\frac9{10}\right)^3+\cdots\right)</math>

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert <math>K_0</math> und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber <math>8\cdot 9</math> Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer „verboten“ sind usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke <math>80</math>.

Werte

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Näherungswerte

Ausgelassene Ziffer	{{{author}}} \| Eric W. Weisstein }}: Kempner Series. In: MathWorld (englisch). {{#if: \| {{#ifeq: {{#property:P2812}} \| {{{id}}} \| \| {{#if: {{#property:P2812}} \| {{#ifeq: 0 \| 0 \| }} \| {{#ifeq: 0 \| 0 \| }} }} }} }}</ref>
0	23,10344
1	16,17696
2	19,25735
3	20,56987
4	21,32746
5	21,83460
6	22,20559
7	22,49347
8	22,72636
9	22,92067

Effiziente Berechnungsmöglichkeiten

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl.<ref name="a">Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv</ref>

Erweiterungen

n-faches Auftreten

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer <math>x_0</math> genau <math>n_0</math> mal, die Ziffer <math>x_1</math> genau <math>n_1</math> usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.<ref>F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149–152.</ref>

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners <math>K_9</math>, obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden <math>1/10^{100}</math> und ist dennoch größer als etwa <math>K_9</math>.<ref name="a"/>

Zusammenhängende Ziffernfolgen

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge – etwa 314 (die ersten drei Stellen der Kreiszahl <math>\pi</math>) – enthält. Auch derartige Reihen konvergieren; im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782.<ref>R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive</ref> Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582,333863782607892.<ref>R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive</ref> Allgemein gilt: Wenn alle Summanden mit einer zusammenhängenden Ziffernfolge der Länge <math>n</math> herausgenommen werden, konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Größenordnung von etwa <math> 10^n \cdot\ln 10 </math>.<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Kempner Series. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

In anderen Stellenwertsystemen

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine <math>\mathrm O</math> in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine <math>\mathrm I</math> vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempner-Reihe ist also

<math>\begin{alignat}{2} K_{\text{dual}} &= \frac{\mathrm I}{\mathrm I}+\frac{\mathrm I}{\mathrm{II}}+\frac{\mathrm I}{\mathrm{III}}+\frac{\mathrm I}{\mathrm{IIII}}+\cdots &\text{(dual)} \\

&= 1+\frac13+\frac17+\frac1{15}+\frac1{31}+\cdots &\text{ (dezimal)}\\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac1{2^k-1}\\ &= 1{,}60669515241529 \ldots, \end{alignat}</math>

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe <math>\textstyle \sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k} =\sum_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k = \frac1{1-\frac12}=2</math> als obere Schranke.

Literatur

Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, S. 42ff. ISBN 978-3-540-48495-0
Folge A082839 in OEIS und Folge A082830 in OEIS

Einzelnachweise