Kan-Komplex
In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.
Definition
Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplex, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:
- Für alle <math>n\in\mathbb N, 0\le k\le n+1</math> und jede <math>(n+1)</math>-elementige Menge <math>\left\{\tau_0,\ldots,\tau_{k-1},\tau_{k+1},\ldots\tau_{n+1}\right\}</math> von <math>n</math>-Simplizes mit <math>\partial_i\tau_j=\partial_{j-1}\tau_i</math> für alle <math>i<j</math> gibt es ein <math>(n+1)</math>-Simplex <math>\sigma</math> mit <math>\partial_i\sigma=\tau_i</math> für <math>i=0,\ldots,k-1,k+1,\ldots,n+1</math>.
Homotopiegruppen
D. M. Kan<ref>Daniel Marinus Kan: A combinatorial definition of homotopy groups. In: Ann. of Math. (2) 67 1958, S. 282–312.</ref> gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.
Beispiel
Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge <math>S_*(X)</math> sei wie folgt definiert. Die <math>n</math>-Simplizes in <math>S_n(X)</math> sind die stetigen Abbildungen des Standard-<math>n</math>-Simplexes nach <math>X</math>. Die Randabbildungen von <math>S_*(X)</math> werden von den Randabbildungen <math>\Delta^{n-1} \to \Delta^n</math> induziert.
<math>S_*(X)</math> ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von <math>X</math> überein.
Literatur
- J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.
Weblinks
Einzelnachweise
<references />