Kan-Erweiterung

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung <math>?\circ F=X</math> sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung

Seien <math>\mathcal{A}</math>, <math>\mathcal{B}</math> und <math>\mathcal{C}</math> Kategorien, <math>L,X,F</math> und <math>M</math> Funktoren und <math>\sigma</math> und <math>\alpha</math> natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors <math>X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}</math> entlang eines Funktors <math>F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> ist ein Paar <math>(L\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \varepsilon\colon X \to L\circ F)</math>, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes <math>M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}</math> und jedes <math>\alpha\colon X \to M\circ F</math> gibt es genau ein <math>\sigma\colon L \to M</math> mit <math>\sigma_F \circ \varepsilon = \alpha</math>, wobei <math>\sigma_F(A) = \sigma\left(F(A)\right)</math>.

Rechtsseitige Kan-Erweiterung

Seien <math>\mathcal{A}</math>, <math>\mathcal{B}</math> und <math>\mathcal{C}</math> Kategorien, <math>R,X.F</math> und <math>M</math> Funktoren und <math>\delta</math> und <math>\mu</math> natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors <math>X\colon \mathcal{A} \to \mathcal{C}</math> entlang eines Funktors <math>F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}</math> ist ein Paar <math>(R\colon \mathcal{B} \to \mathcal{C}, \eta\colon R\circ F\to X)</math>, das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes <math>M\colon \mathcal{B}\to\mathcal{C}</math> und jedes <math>\mu\colon M\circ F\to X</math> gibt es genau ein <math>\delta\colon M \to R</math> mit <math>\eta \circ \delta_F = \mu</math>, wobei <math>\delta_F(A) = \delta\left(F(A)\right)</math>.

Literatur

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