Norm (Körpererweiterung)

In der Körpertheorie der Mathematik ist die Norm einer Körpererweiterung eine spezielle, der Erweiterung zugeordnete Abbildung. Sie bildet jedes Element des größeren Körpers auf den kleineren Körper ab.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm eines normierten Vektorraums, er wird daher manchmal im Gegensatz zur Vektornorm auch Körpernorm genannt.

Definition

Es sei <math>L/K</math> eine endliche Körpererweiterung. Ein fest gewähltes Element <math>a\in L</math> definiert eine <math>K</math>-lineare Abbildung

<math>L\to L,\quad x\mapsto ax.</math>

Ihre Determinante heißt die Norm von <math>a</math>, geschrieben <math>N_{L/K}(a)</math>. Sie ist ein Element von <math>K</math>; die Norm ist also eine Abbildung

<math>N_{L/K}\colon L\to K,\quad a\mapsto N_{L/K}(a).</math>

Eigenschaften

Genau für <math>a=0</math> gilt <math>N_{L/K}(a)=0</math>.
Die Norm ist multiplikativ, d. h.

<math>N_{L/K}(ab)=N_{L/K}(a)\cdot N_{L/K}(b)</math> für alle <math>a,b\in L</math>.

Eingeschränkt auf die multiplikativen Gruppen ist die Norm also ein Homomorphismus

<math>N_{L/K}\colon L^\times\to K^\times.</math>

Ist <math>M/L</math> eine weitere endliche Körpererweiterung, dann hat man die drei Normfunktionen <math>N_{L/K}, N_{M/L}</math> und <math>N_{M/K}</math>, die in der folgenden, als Transitivität der Norm bezeichneten, Beziehung stehen:

<math>N_{M/K}(a) = N_{L/K}(N_{M/L}(a))</math> für alle <math>a\in M</math>.

Ist <math>a\in K</math>, so gilt <math>N_{L/K}(a)=a^{[L:K]}</math>.
Ist <math>a \in L</math> mit dem Minimalpolynom <math>f \in K[X]</math> vom Grad <math>d</math>, <math>a_0 \in K</math> das Absolutglied von <math>f</math> und <math>r = [L : K(a)]</math>, dann gilt:

Ist <math>L/K</math> eine endliche Körpererweiterung mit <math>[L:K] = qr</math>, wobei <math>r</math> die Anzahl der Elemente <math>\sigma</math> in <math>\operatorname{Hom}_{K}(L,\bar{K})</math>, der Menge aller <math>K</math>-Homomorphismen von <math>L</math> in den algebraischen Abschluss <math>\bar{K}</math> von <math>K</math>, sei. Dann gilt<ref>Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S. 196ff</ref> für jedes Element <math>a \in L</math>

<math>N_{L/K}(a) = \left(\,\prod_{i = 1}^{r} \sigma_{i} (a)\right)^q</math>

Ist <math>L/K</math> insbesondere galoissch mit Galoisgruppe <math>\operatorname{Gal}(L/K)</math>, so bedeutet dies

<math>N_{L/K}(a)=\prod_{\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)}\sigma(a).</math>

Beispiele

Die Norm der komplexen Zahlen über den reellen Zahlen bildet jede komplexe Zahl auf ihr Betragsquadrat ab. Es ist also

<math>N_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}(a+ib) = \sigma_1(a+ib)\sigma_2(a+ib) = id(a+ib)\overline{(a+ib)} = (a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2</math>.

Die Norm von <math>\mathbb Q(\sqrt2)/\mathbb Q</math> ist die Abbildung

<math>a+b\sqrt2\mapsto a^2-2b^2</math> für <math>a,b\in\mathbb Q</math>.

Die Norm von <math>\mathbb F_{q^n}/\mathbb F_q</math> ist die Abbildung

<math>x\mapsto x^{1+q+q^2+\ldots+q^{n-1}}</math>.

Siehe auch

Einzelnachweise