Jordansche Ungleichung

<math>\frac{2}{\pi}x\leq \sin(x) \leq x\text{ für }x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]</math>

\\ \Leftrightarrow &\sin(x) \leq x \leq\tfrac{\pi}{2}\sin(x)\\ \Rightarrow &\tfrac{2}{\pi}x \leq \sin(x)\leq x \end{align}</math>

Die Jordansche Ungleichung oder Jordan-Ungleichung liefert eine lineare obere und untere Abschätzung der Sinus-Funktion für spitze Winkel. Sie ist nach Camille Jordan benannt.

Ungleichung

Die Jordan-Ungleichung lautet:<ref>Eric W. Weisstein: Jordan’s inequality. In: MathWorld (englisch). </ref>

<math>\frac{2}{\pi}x\leq \sin(x) \leq x\text{ für }x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right].</math>

Sie wird unter anderem in der Funktionentheorie verwandt. Analytisch lässt sie sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung beweisen.<ref>Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168</ref> Geometrisch lässt sich ihre Richtigkeit unmittelbar am Einheitskreis mit Hilfe eines zweiten Kreises erkennen (siehe Zeichnung).<ref>Nach Feng Yuefeng: Proof without words: Jordan’s inequality. In: Mathematics Magazine, Band 69, Nr. 2, 1996, S. 126</ref>

Folgerungen, Erweiterungen und verwandte Ungleichungen

Als Folgerung aus der Jordan-Ungleichung erhält man, dass für eine reelle Zahl <math>x</math> mit <math>0 < |x| \leq \frac{\pi}{2}</math> stets gilt:

<math> \frac{2}{\pi} \leq \frac{\sin(x)}{x} < 1 </math> .

Nach US-amerikanischen Mathematikern Raymond Redheffer und J. P. Williams ist die verwandte Redheffer-Williams-Ungleichung benannt:<ref name="Feng">Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923</ref><ref>Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33</ref> Für eine reelle Zahl <math>x \; (x \neq 0)</math> ist stets

<math>\frac{\sin(x)}{x} \geq \frac{{\pi}^2 - x^2}{{\pi}^2 + x^2} </math> .

Literatur

Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168
Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923
Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality. Journal of Inequalities and Applications 2011, 2011:130, doi:10.1186/1029-242X-2011-130
Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33

Weblinks

Jordan-Ungleichung im Proof Wiki (englisch)
Eric W. Weisstein: Jordan’s inequality. In: MathWorld (englisch).
Jordan- und Kober-Ungleichungen auf cut-the-knot.org

Einzelnachweise