Jonckheere-Terpstra-Test

Der Jonckheere-Terpstra-Test ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem ähnlich wie beim Kruskal-Wallis-Test im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Der Unterschied zum Kruskal-Wallis-Test ist, dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird.

Die Nullhypothese H₀ lautet, dass alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten <math>G_i</math> mit identischer Verteilung gezogen wurden: <math>G_1 = G_2 = \dots = G_c</math>

Als Alternativhypothese H_A gilt: <math>G_1 \leq G_2 \leq \dots \leq G_c</math>, wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Berechnung

Die Teststatistik <math>J</math> lautet für eine Anzahl <math>c</math> von Gruppen <math>G_i</math> mit jeweils <math>n_i</math> Messungen:

<math>J = \sum_{i<j}^c U_{ij} = \sum_{i=1}^{c-1} \sum_{j=i+1}^{c}U_{ij} </math>

Dabei ist <math>U_{ij}</math> definiert als

<math>U_{ij} = \sum_{s=1}^{n_i} \sum_{t=1}^{n_j}\Psi (X_{jt} - X_{is})</math>

mit

<math>\Psi (u) = \begin{cases}

 1  & \text{wenn } u > 0 \\
 0  & \text{wenn } u \leq 0

\end{cases}\ </math> oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) <math>\ \Psi (u) = \begin{cases}

 1  & \text{wenn } u > 0 \\
 1/2 & \text{wenn } u = 0 \\
 0  & \text{wenn } u < 0

\end{cases}</math>

Die berechnete Prüfgröße <math>J</math> wird größer, wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen ist die Prüfgröße <math>J</math> näherungsweise normalverteilt. Für den Erwartungswert <math>\mu _J</math> und die Varianz <math>\sigma _J</math> gelten folgende Formeln:

<math>\mu _J = \frac{N^2 - \sum_{i=1}^{c}n_i^2}{4}\ </math>

und

<math>\ \sigma _J = \sqrt{\frac{N^2(2N + 3) - \sum_{i=1}^{c}n_i^2(2n_i+3)}{72}}</math>

Die daraus durch Standardisierung erhaltene Variable <math>Z</math> ist näherungsweise standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl <math>N</math> aller Stichprobenwerte größer als 12 ist:

<math>Z = \frac{J - \mu _J}{\sigma _J}</math>

Oder anders ausgedrückt: Bei einem einseitigen Test auf 5 % Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

<math>J > \mu _J + 1{,}645\,\sigma _J</math>.

Verallgemeinerung

Es lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten, bei denen ein anfänglicher Aufwärtstrend an einem bestimmten Punkt in einen Abwärtstrend übergeht. Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonckheere-Terpsta-Tests, der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Literatur

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Einzelnachweise

<references />