Jacobische Differentialgleichung

Die nach Carl Gustav Jacob Jacobi benannte jacobische Differentialgleichung ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

<math> y'= f\left(\frac{ax + by + c}{\alpha x + \beta y + \gamma}\right)\ .</math>

Ein wichtiger Spezialfall ist die Euler-homogene Differentialgleichung (nach Leonhard Euler), auch Ähnlichkeitsdifferentialgleichung genannt<ref> Heidrun Günzel: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Oldenbourg-Verlag, 2008, ISBN 978-3486-58555-1, S. 55</ref>,

<math>y' = f\left(\frac{y}{x}\right).</math>

Transformation auf Euler-homogene Differentialgleichung

Hier muss eine Fallunterscheidung danach gemacht werden, ob <math>\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix}</math> verschwindet oder nicht.

Nichtverschwindende Determinante

Wegen <math>\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix} \neq 0</math> gibt es (eindeutige) <math>x^\star, y^\star \in \mathbb{R}</math> mit

<math>\begin{array}{lcll}&ax^\star+by^\star&=&-c\\\wedge&\alpha x^\star+\beta y^\star&=&-\gamma\ .\\\end{array}</math>

Dann folgt

<math>\frac{ax+by+c}{\alpha x + \beta y + \gamma} =

\frac{a(x-x^\star)+b(y-y^\star)}{\alpha(x-x^\star)+\beta(y-y^\star)} = \frac{a+b\frac{y-y^\star}{x-x^\star}}{\alpha+\beta\frac{y-y^\star}{x-x^\star}}\ .</math> Nun gilt: Für jede Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung

<math>u' = f\left(\frac{a+b\frac{u}{x}}{\alpha+\beta\frac{u}{x}}\right) = g\left(\frac{u}{x}\right)\ ,\ g(s) := f\left(\frac{a+bs}{\alpha+\beta s}\right)</math>

ist <math>y(x) := y^\star + u(x-x^\star)</math> Lösung der ursprünglichen jacobischen Differentialgleichung, denn man erhält

<math>y'(x) = u'(x-x^\star) = f\left(\frac{a+b\frac{u(x-x^\star)}{x-x^\star}}{\alpha+ \beta\frac{u(x-x^\star)}{x-x^\star}}\right) = f\left(\frac{a+b\frac{y(x)-y^\star}{x-x^\star}}{\alpha + \beta\frac{y(x)-y^\star}{x-x^\star}}\right) =

f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x + \beta y(x) + \gamma}\right).</math> Somit wird das Lösen einer jacobischen Differentialgleichung auf das Lösen einer Euler-homogenen Differentialgleichung zurückgeführt.

Verschwindende Determinante

Sei nun <math>\det\begin{pmatrix}a&b\\\alpha&\beta\\\end{pmatrix} = 0</math>. Es sind drei Fälle zu unterscheiden.

Der Fall <math>b=\beta=0</math>

Dieser Fall ist trivial, da die rechte Seite Differentialgleichung nicht mehr von <math>y</math> abhängt.

Der Fall <math>a=\lambda\alpha, b = \lambda\beta, \beta \neq 0</math>

Für alle Lösungen <math>z</math> der separierten Differentialgleichung

<math>z' = \alpha + \beta f\left(\frac{\lambda z+c}{z+\gamma}\right)</math>

ist <math>y(x) := \frac{1}{\beta}(z(x)-\alpha x)</math> Lösung der jacobischen Differentialgleichung, denn es gilt

<math>y'(x) = \frac{1}{\beta}(\alpha + \beta f\left(\frac{\lambda z(x)+c}{z(x)+\gamma}\right)-\alpha)

= f\left(\frac{\lambda(\alpha x+\beta y(x))+c}{\alpha x + \beta y(x)+\gamma}\right) =f\left(\frac{ax+by(x)+c}{\alpha x + \beta y(x)+\gamma}\right)\ .</math>

Also ist hier das Verfahren der Trennung der Veränderlichen anwendbar.

Der Fall <math>\alpha=\beta=0, b \neq 0</math>

Dies geht analog zum vorigen Fall: Für alle Lösungen <math>z</math> der separierten Differentialgleichung

<math>z' = a + b f\left(\frac{z+c}{\gamma}\right)</math>

ist <math>y(x) := \frac{1}{b}(z(x)-ax)</math> Lösung der jacobischen Differentialgleichung.

Transformation der Euler-homogenen Gleichung auf Trennung der Veränderlichen

Gegeben sei eine Euler-homogene Differentialgleichung <math>y' = g\left(\frac{y}{x}\right)</math>. Für jede Lösung <math>z</math> der separierten Differentialgleichung

ist <math>y(x) := x\cdot z(x)</math> Lösung der Euler-homogenen Differentialgleichung wegen

<math>y'(x) = z(x) + xz'(x) = g(z(x)) = g\left(\frac{y(x)}{x}\right)\ .</math>

Die Differentialgleichung für <math>z</math> kann man mit dem Verfahren der Trennung der Veränderlichen weiter behandeln.

Literatur

Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 3. Auflage. B.G. Teubner Stuttgart, 1995, ISBN 3-519-22227-2

Einzelnachweise