Jacobi-Operator
Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.
Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren
Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen <math>\ell^2(\mathbb{N})</math>. In diesem Fall ist <math>J: \ell^2(\N) \to \ell^2(\N), \, f \mapsto J\, f</math> durch
- <math> (J\, f)_n = \begin{cases} a_1 f_2 + b_1 f_1, & n=1,\\ a_n f_{n+1} + a_{n-1} f_{n-1} + b_n f_n, & n>1, \end{cases}</math>
gegeben, wobei die Koeffizienten
- <math>a_n >0, \quad b_n \in \mathbb{R}</math>
erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.
Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung <math>P_n(z)</math> der Differenzengleichung
- <math> J\, P_n(z) = z\, P_n(z), \qquad P_1(z)=1,</math>
ist ein Polynom vom Grad <math>n</math> und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor <math>\delta_{1,n}</math> gehört.
Anwendungen
Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall <math>a_n=1</math> ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.
Literatur
- G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)